相关试卷

1、综合与实践：
某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学研究如图①所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径（底面直径）为12cm，高为16cm.
【数学视角】
经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的 $\frac{3}{5}$ 倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值0.618，将会给人带来更美的视觉效果.
【方案设计】
为了检验视觉效果的真实性，需设计一个新的灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为hcm，它的口径等于高的 $\frac{3}{5}$ 倍.

(1)、【问题解决】
请用含有h的式子表示新灯罩的口径；

(2)、把原灯罩的垂直截面图抽象为如图②所示的抛物线，并建立平面直角坐标系，抛物线顶点为原点，由题知AB=12cm，OC=16cm，请求出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(3)、在（1）和（2）的条件下，求新灯罩的模型高度h的值.

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2、在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动.变换条件如下：如图1，直线AB、AC、BC两两相交于A、B、C三点，得知 $△ A B C$ 是等边三角形，点E是直线AC上一动点(点E不与点A、C重合)，点F在直线BC上，连接BE、EF，使EF =BE.

(1)、张老师首先提出了这样一个问题：如图1，当E是线段AC的中点时，确定线段AE与CF的数量关系，请你直接写出结论： AECF (填“>”“<”或“=”)

(2)、“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段AC上的任意一点，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图2，过点E作ED∥BC，交AB于点 D.(请你补充完整证明过程)

(3)、“缜密”小组提出的问题是：若动点E 的运动位置如图3所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段AE与CF的数量关系是否发生变化?请你予以证明.

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3、定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 $\frac{1}{2}$ ，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在 $△ A B C$ 中，如果 $∠ A = 80 °, ∠ B = 40 °$ ，那么 $∠ A$ 与 $∠ B$ 互为“友爱角”， $△ A B C$ 是“友爱三角形”．

(1)、如图1， $△ A B C$ 是“友爱三角形”，且 $∠ A$ 与 $∠ B$ 互为“友爱角”（ $∠ A > ∠ B$ ）， $∠ A C B = 90 °$ ．
①求 $∠ A, ∠ B$ 的度数．
②若 $C D$ 是 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上的高，则 $△ A C D, △ B C D$ 都是“友爱三角形”吗？为什么？

(2)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 70 °, ∠ A = 66 °$ ， $D$ 是边 $A B$ 上一点（不与点 $A, B$ 重合），连接 $C D$ ，若 $△ A C D$ 是“友爱三角形”，且 $∠ A D C$ 与 $∠ A C D$ 互为“友爱角”，直接写出 $∠ A C D$ 的度数．

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4、如图， $A D$ 是等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C$ 上的中线，过点 $D$ 作 $D E ∥ A B$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A D E$ 是等腰三角形．

(2)、求证： $A E = C E$ ．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6 cm$ ， $B C = 10 cm$ ．动点P从点A出发沿 $A \to C$ 的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿 $B \to C \to A$ 的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒 $1 cm$ 和 $3 cm$ 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作 $P E ⊥ M N$ 于点E， $Q F ⊥ M N$ 于点F，则点P的运动时间为s时， $△ P E C$ 与 $△ Q F C$ 全等．

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6、如图，任意画一个 $∠ B A C = 60 °$ 的 $△ A B C$ ，再分别作 $△ A B C$ 的两条角平分线 $B E$ 和 $C D$ ， $B E$ 和 $C D$ 相交于点P，连接 $A P$ ，有以下结论：① $∠ B P C = 120 °$ ；② $A P$ 平分 $∠ B A C$ ；③ $A D = A E$ ；④ $B D + C E = B C$ ，其中正确的是．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 15 cm$ ， $B C = 6 cm$ ， $C D$ 为 $A B$ 边上的高，点 $E$ 从点 $B$ 出发，在直线 $B C$ 上以 $3 cm / s$ 的速度移动，过点 $E$ 作 $B C$ 的垂线交直线 $C D$ 于点 $F$ ，当点 $E$ 运动 $s$ 时， $C F = A B$ ．

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8、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，点E在 $A D$ 上，将矩形 $A B C D$ 沿 $B E$ 折叠，点A恰好落在 $C D$ 边上点F处，将 $△ D E F$ 沿射线 $F B$ 方向平移得到 $△ D^{'} E^{'} F^{'}$ （点 $D^{'}$ ， $E^{'}$ ， $F^{'}$ 分别与点D，E，F对应）．当点 $D^{'}$ 落在 $B E$ 上时，则 $E E^{'}$ 的长为．

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9、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， E是 $A C$ 上一点， $A B = B E$ ， $A D ⊥ B E$ 于点D，若 $B D = 2, B C = 7$ ．则 $△ E B C$ 的面积为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10、在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $A B$ 的中点，连接 $D E$ 并延长交 $C B$ 的延长线于点 $F .$ 若 $D E$ 平分 $∠ A D C$ ， $D C = 8$ ，则 $B F$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11、下列关于运动会的概述图中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A D = 30 °$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠至 $△ A D B^{'}$ ， $∠ A C B = 2 α$ ，连接 $B^{'} C ， B^{'} C$ 平分 $∠ A C B$ ，则 $∠ A B^{'} D$ 的度数是（）

A、 $60 ° + \frac{α}{2}$ B、 $60 ° + α$ C、 $90 ° - \frac{α}{2}$ D、 $90 ° - α$

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13、阅读：如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是 $- 18 ， - 8$ ， 8．A到C的距离可以用 $A C$ 表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数 $- 18$ ， 8大于 $- 18$ ，用 $8 - (- 18)$ ．用式子表示为： $A C = 8 - (- 18) = 26$ ．
根据阅读完成下列问题：

(1)、填空： $A B =$ ， $B C =$ ；

(2)、若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索： $B C - A B$ 的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由；

(3)、现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒 $(0 \leq t \leq 19)$ ，写出P，Q两点间的距离（用含t的代数式表示）．

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14、定义：对任意一个两位数 $a$ ，如果 $a$ 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为 $f (a)$ ．例如： $a = 12$ ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为33÷11=3，所以 $f (12) = 3$ ．根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：40，42，44中，“迥异数”为_______；②计算： $f (23)$ =_______；
（2）如果一个“迥异数” $b$ 的十位数字是 $k$ ，个位数字是 $2 (k + 1 ）$ ，且 $f (b) = 11$ ，请求出“迥异数” $b$ ．

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15、先化简，再求值：
$(3 x^{2} + 2 x y) - 3 (x^{2} - 2 x y) - 10 x y$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = - 1$ ．

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16、计算： $- 2^{3} \times 4 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \div |- \frac{1}{12}|$ ．

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17、计算： $12 - (- 18) + (- 7) - 6$ ．

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18、用火柴按如图的方式搭六边形组成新的图形，图①搭1个六边形的图形需要6根火柴；图②搭2个六边形组成的图形需要11根火柴；图③搭3个六边形组成的图形需要16根火柴；…；按此规律，搭n个六边形组成的图形需要的火柴数是根．

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19、现规定一种运算“※”： $a ※ b = a + a b$ ，则 $((- 1) ※ 2) ※ 3 =$ ．

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20、已知 $a - 2 b = - 1$ ，那么代数式 $2 a - 4 b - 3$ 的值是．

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