相关试卷

1、2025年9月28日，世界第一高桥一一贵州花江峡谷大桥建成通车．它是贵州六枝至安龙高速公路的控制性工程，大桥梁段总重量达21000万吨.21000这个数用科学记数法表示正确的是（）

A、 $2.1 \times 10^{3}$ B、 $0.21 \times 10^{5}$ C、 $2.1 \times 10^{4}$ D、 $21 \times 10^{3}$

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2、有理数7的相反数是（）

A、7 B、 $- 7$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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3、定义：若两个分式 $A$ 与 $B$ 的差为常数，且这个常数为正数，则称 $A$ 是 $B$ 的“差常分式”，这个常数称为 $A$ 关于 $B$ 的“差常值”．如分式 $A = \frac{2 x}{x - 1}$ ， $B = \frac{2}{x - 1}$ ， $A - B = \frac{2 x}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} = 2$ 则 $A$ 是 $B$ 的“差常分式”， $A$ 关于 $B$ 的“差常值”为2．

(1)、已知分式 $C = \frac{3 x + 4}{x + 3}$ ， $D = \frac{x - 2}{x + 3}$ ，判断 $C$ 是否是 $D$ 的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出 $C$ 关于 $D$ 的“差常值”；

(2)、已知分式 $M = \frac{2 x}{x - 2}$ ， $N = \frac{P}{x^{2} - 4}$ ， $M$ 是 $N$ 的“差常分式”，且 $M$ 关于 $N$ 的“差常值”为2．
①求 $P$ 所代表的整式；
②若 $x$ 为正整数，且 $N$ 的值也为正整数，直接写出满足条件的 $x$ 的值．

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4、知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式 $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x + 2) + 1$ ；
解：将“ $x^{2} + 2 x$ ”看成一个整体，令 $x^{2} + 2 x = y$ ；
原式 $= y (y + 2) + 1 = y^{2} + 2 y + 1 = {(y + 1)}^{2} = {(x^{2} + 2 x + 1)}^{2} = {(x + 1)}^{4}$ ；
例2：已知 $a b = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ 的值．
解： $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} = \frac{a b}{a b + a} + \frac{1}{1 + b} = \frac{b}{1 + b} + \frac{1}{1 + b} = 1$ ；
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：

(1)、根据材料，请你模仿例1尝试对多项式 $(x^{2} - 6 x + 8) (x^{2} - 6 x + 10) + 1$ 进行因式分解；

(2)、已知 $a b = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ 的值；

(3)、计算： $(1 - 2 - 3 - \dots - 2025) \times (2 + 3 + \dots + 2026) - (1 - 2 - 3 - \dots - 2026) \times (2 + 3 + \dots + 2025) =$ _____________．（直接写出结果）

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5、因式分解：

(1)、 $4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}$

(2)、 ${(m^{2} + 1)}^{2} - 4 m^{2}$

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6、解方程：

(1)、 $\frac{1}{2 x - 5} = \frac{3}{x}$

(2)、 $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{8}{x^{2} - 4}$

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7、若 $a^{x} = 12$ ， $a^{y} = 6$ ，则 $a^{x - y} =$ ．

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8、计算： ${(- \frac{1}{4})}^{- 1} + {(π - 3.14)}^{0} =$ ．

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9、已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + k}{x + 1} - \frac{k}{x - 1} = 1$ 的解为非正数．则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \geq \frac{1}{2}$ B、 $k \leq \frac{1}{2}$ C、 $k \geq \frac{1}{2}$ 且 $k \neq 1$ D、 $k \leq \frac{1}{2}$ 且 $k \neq - 1$

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10、某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为 $x$ 人，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{60}{x} - \frac{60}{2 x} = 3$ B、 $\frac{60}{2 x} - \frac{60}{x} = 3$ C、 $\frac{60}{x} = 2 \times \frac{60}{x + 3}$ D、 $\frac{60}{x} = 2 \times \frac{60}{x - 3}$

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11、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(- 2 a)}^{3} = - 2 a^{3}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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12、若 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x \leq 1$ C、 $x < 1$ D、 $x > 1$

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13、下列式子是分式的是（）

A、 $\frac{3}{5} x$ B、 $\frac{3}{5 x}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5} + x$

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14、如图1， $P$ 是长方形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上一点（长方形四个内角都是直角，对边平行且相等）， $A B > A D$ ，连接 $P D$ ，将线段 $P D$ 绕点 $P$ 逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $P Q$ ，连接 $A Q$ ， $D Q$ ．

(1)、随着点 $P$ 的运动，线段 $A Q$ 、 $A P$ 的长都会发生变化，则 $A Q$ _____ $A P$ （填“ $=$ ”“ $\geq$ ”或“ $\leq$ ”）；

(2)、嘉嘉说：“过点 $Q$ 作 $Q E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，可得到 $△ A D P ≌ △ E P Q$ ． ”
$①$ 请根据嘉嘉的说法在图 $2$ 中补全图形（无需尺规作图），并对她的说法进行说理；
$②$ 若 $△ A P Q$ 的面积为 $5$ ，求 $A P$ 的长；

(3)、若 $A D = 4$ ， $△ A D Q$ 的面积为 $2$ ，直接写出 $A P$ 的长．

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15、为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的 $T$ 恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍．

(1)、甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？

(2)、商场决定购进甲、乙两种品牌 $T$ 恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌 $T$ 恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案；

(3)、在（2）的条件下，商场决定甲品牌 $T$ 恤衫以每件50元出售，乙品牌 $T$ 恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件 $T$ 恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购 $T$ 恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购 $T$ 恤衫按标价返款50%．该商场将这100件 $T$ 恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌 $T$ 恤衫有多少件．

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16、为测量某一水池两端

A

，

B

之间的距离，嘉嘉、淇淇两位同学分别设计出如下两种方案．

课题	测量水池两端 $A$ 、 $B$ 之间的距离
人员	嘉嘉	淇淇
步骤说明	在平地上取一点 $O$ ，分别连接 $A O$ ， $B O$ 并延长到 $D$ ， $C$ 两点，使得 $D O = B O$ ， $C O = A O$ ，测量 $C D$ 的距离即可．	在平地上取一点 $O$ ，分别连接 $A O$ ， $B O$ ，在 $A B$ 的延长线上取一点 $C$ ，使得 $∠ C O B = ∠ A O B$ ，测量 $B C$ 的距离即可．
测量示意图

(1)、尺规作图：依据淇淇的步骤，在图

2

中确定点

C

的位置（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、老师评价后指出其中一种方案不可行．

$①$ 以上两位同学的方案可行的是_______（填“嘉嘉”或“淇淇”）的方案；

$②$ 对 $①$ 中所选方案的可行性进行说理．

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17、“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法．
例如：比较 $\sqrt{18} + 2$ 与6的大小．
解： $\sqrt{18} + 2 - 6 = \sqrt{18} - 4$ ，
$∵ \sqrt{16} < \sqrt{18} < \sqrt{25}$ ，即 $4 < \sqrt{18} < 5$ ，
$∴ \sqrt{18} - 4 > 0$ ，
$∴ \sqrt{18} + 2 > 6$ ．

(1)、已知 $x$ 为整数，且 $x < \sqrt{18} + 2 < x + 1$ ，求 $x$ 的值；

(2)、根据作差法，
①比较 $3 - \sqrt{30}$ 与 $- 2$ 的大小；
②已知 $m > 0$ ，则 $\frac{m}{m + 1}$ _____ $\frac{m - 1}{m}$ （填“>”“<”或“=”）．

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18、如图，延长直角三角尺 $A B C$ 的直角边 $B C$ 至点 $D$ ，连接 $A D$ ，点 $E$ 在直角边 $A C$ 上，连接 $B E$ 并延长，交 $A D$ 于点 $F$ ．已知 $A C ⊥ B D$ ， $B C = A C$ ， $C E = C D$ ．
为证明 $△ B C E ≌ △ A C D$ ，嘉嘉正确的解答过程如下：
证明：∵ $A C ⊥ B D$ ，
∴ $∠ B C E = ∠ A C D = 90 °$ ，
在 $△ B C E$ 和 $△ A C D$ 中，
$B C = A C$ ， $∠ B C E = ∠ A C D$ ， $①$ 　　　，
∴ $△ B C E ≌ △ A C D$ （ $②$ 　　　）．

(1)、将嘉嘉的过程补充完整， $①$ 处应填， $②$ 处应填；

(2)、判断 $B F$ 与 $A D$ 的位置关系，并说明理由．

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19、已知分式 $(\frac{2 x}{x + 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x + 2}$ ．

(1)、化简分式；

(2)、若 $x$ 的值为方程 $\frac{3}{x - 3} = \frac{2}{x}$ 的解，求该分式的值．

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20、数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下：
$- \frac{7}{3}$ ， $0$ ， $0.3$ ， $π$ ， $\sqrt{8}$ ， $2025$ ， $- \sqrt[3]{27}$ ， $0.101001 \dots$ （每两个“1”之间依次多一个“0”）．

(1)、主办方需要准备_______个“无理数”的席位；

(2)、请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内．
“整数”席：{　　　　　　}；
“分数”席：{　　　　　　}．

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