相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 上的点， $A B = 6$ ， $A E = 2$ ， $E C = 1$ ，且 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ ，则 $D B$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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2、用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ ，变形后结果正确的是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 3)}^{2} = 16$ C、 ${(x - 3)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 16$

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3、如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，且 $O A = O B = O C = O D = \sqrt{2}$ ， $A B = 2$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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4、已知 $x = 2$ 是一元二次方程 $x^{2} - k x - 2 = 0$ 的一个根，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、3

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5、如图是小红自制的相框，她想检查相框是否为矩形，于是她用手中仅有的一根较长的绳子进行测量并比较，下列检查方法合理的是（）

A、 $A C = B D$ B、 $A B = D C$ ， $A D = B C$ C、 $A B = D C$ ， $A D = B C$ ， $A C = B D$ D、 $A B + B C = A D + D C$

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6、一个不透明的袋中装有10个除颜色外完全相同的小球，搅匀后小星从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验．通过多次摸球试验后发现从袋中摸出1个红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数约为（）

A、7 B、5 C、4 D、3

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7、一元二次方程 $(x - 1) (x + 2) = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 2$

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8、如图，在菱形 $A B C D$ 中，若 $A B = 6 cm$ ，则 $B C$ 的长是（） $cm$

A、 $6 cm$ B、 $12 cm$ C、 $24 cm$ D、 $18 \sqrt{3} cm$

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9、2025年9月28日，世界第一高桥一一贵州花江峡谷大桥建成通车．它是贵州六枝至安龙高速公路的控制性工程，大桥梁段总重量达21000万吨.21000这个数用科学记数法表示正确的是（）

A、 $2.1 \times 10^{3}$ B、 $0.21 \times 10^{5}$ C、 $2.1 \times 10^{4}$ D、 $21 \times 10^{3}$

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10、有理数7的相反数是（）

A、7 B、 $- 7$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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11、定义：若两个分式 $A$ 与 $B$ 的差为常数，且这个常数为正数，则称 $A$ 是 $B$ 的“差常分式”，这个常数称为 $A$ 关于 $B$ 的“差常值”．如分式 $A = \frac{2 x}{x - 1}$ ， $B = \frac{2}{x - 1}$ ， $A - B = \frac{2 x}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} = 2$ 则 $A$ 是 $B$ 的“差常分式”， $A$ 关于 $B$ 的“差常值”为2．

(1)、已知分式 $C = \frac{3 x + 4}{x + 3}$ ， $D = \frac{x - 2}{x + 3}$ ，判断 $C$ 是否是 $D$ 的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出 $C$ 关于 $D$ 的“差常值”；

(2)、已知分式 $M = \frac{2 x}{x - 2}$ ， $N = \frac{P}{x^{2} - 4}$ ， $M$ 是 $N$ 的“差常分式”，且 $M$ 关于 $N$ 的“差常值”为2．
①求 $P$ 所代表的整式；
②若 $x$ 为正整数，且 $N$ 的值也为正整数，直接写出满足条件的 $x$ 的值．

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12、知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式 $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x + 2) + 1$ ；
解：将“ $x^{2} + 2 x$ ”看成一个整体，令 $x^{2} + 2 x = y$ ；
原式 $= y (y + 2) + 1 = y^{2} + 2 y + 1 = {(y + 1)}^{2} = {(x^{2} + 2 x + 1)}^{2} = {(x + 1)}^{4}$ ；
例2：已知 $a b = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ 的值．
解： $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} = \frac{a b}{a b + a} + \frac{1}{1 + b} = \frac{b}{1 + b} + \frac{1}{1 + b} = 1$ ；
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：

(1)、根据材料，请你模仿例1尝试对多项式 $(x^{2} - 6 x + 8) (x^{2} - 6 x + 10) + 1$ 进行因式分解；

(2)、已知 $a b = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ 的值；

(3)、计算： $(1 - 2 - 3 - \dots - 2025) \times (2 + 3 + \dots + 2026) - (1 - 2 - 3 - \dots - 2026) \times (2 + 3 + \dots + 2025) =$ _____________．（直接写出结果）

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13、因式分解：

(1)、 $4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}$

(2)、 ${(m^{2} + 1)}^{2} - 4 m^{2}$

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14、解方程：

(1)、 $\frac{1}{2 x - 5} = \frac{3}{x}$

(2)、 $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{8}{x^{2} - 4}$

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15、若 $a^{x} = 12$ ， $a^{y} = 6$ ，则 $a^{x - y} =$ ．

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16、计算： ${(- \frac{1}{4})}^{- 1} + {(π - 3.14)}^{0} =$ ．

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17、已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + k}{x + 1} - \frac{k}{x - 1} = 1$ 的解为非正数．则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \geq \frac{1}{2}$ B、 $k \leq \frac{1}{2}$ C、 $k \geq \frac{1}{2}$ 且 $k \neq 1$ D、 $k \leq \frac{1}{2}$ 且 $k \neq - 1$

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18、某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为 $x$ 人，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{60}{x} - \frac{60}{2 x} = 3$ B、 $\frac{60}{2 x} - \frac{60}{x} = 3$ C、 $\frac{60}{x} = 2 \times \frac{60}{x + 3}$ D、 $\frac{60}{x} = 2 \times \frac{60}{x - 3}$

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19、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(- 2 a)}^{3} = - 2 a^{3}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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20、若 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x \leq 1$ C、 $x < 1$ D、 $x > 1$

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