相关试卷

1、定义：如果一个正整数 $n$ 能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数 $n$ 为“麓山数”，即：若正整数 $n = (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ （ $a$ ， $b$ 为正整数，且 $a > b$ ），则称正整数 $n$ 为“麓山数”．例如： $5 = 3^{2} - 2^{2}$ ， $80 = 9^{2} - 1^{2}$ ，所以 $5$ 和 $80$ 都是“麓山数”．

(1)、根据定义，请写出最小的“麓山数”是______，两位数中最大的“麓山数”是______；

(2)、求证：除 $1$ 以外的所有正奇数都是“麓山数”；

(3)、将所有麓山数从小到大排列，请求出第 $45$ 个“麓山数”是多少．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = C F$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A C$ ， $B C$ 上， $∠ B A F = ∠ C F E$ ．

(1)、求证： $△ A B F ≌ △ F C E$ ；

(2)、若 $∠ C = 50 °$ ，求 $∠ A F E$ 的度数．

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3、若已知 ${(a + b)}^{2} = 11$ ， ${(a - b)}^{2} = 5$ ，求下列各式的值：

(1)、 $a^{2} + b^{2}$ ；

(2)、 $a b$ ．

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4、计算：

(1)、 $2 b (4 a - b^{2})$ ；

(2)、 $(6 x^{4} - 8 x^{3}) \div (- 2 x^{2})$ ；

(3)、 ${(a + b + 1)}^{2}$ ；

(4)、 $52 \times 48$ ．

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5、一个三角形的三边为3，6， $x$ ，另一个三角形的三边为 $y$ ， 3，7，若这两个三角形全等，则 $x - y =$ ．

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6、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块．

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7、生活中处处有数学，起重机的底座、自行车的支架都是采用三角形结构，从数学角度来说，是因为三角形具有．

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8、若a+b=2，a－b=3，则a²－b²= ．

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9、下列结论正确的是（）

A、形状相同的两个图形是全等形 B、对应角相等的两个三角形是全等三角形 C、全等三角形的面积相等 D、两个等边三角形全等

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10、单项式 $- \frac{2}{5} x^{2} y$ 的系数和次数分别是（）

A、 $\frac{2}{5}$ ， $- 4$ B、 $\frac{2}{5}$ ， 4 C、 $- \frac{2}{5}$ ， 3 D、 $- \frac{2}{5}$ ， 4

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11、如图1，在 $△ A B C$ 中，延长边 $B C$ 至点 $D$ ，使 $C D = A B$ ，已知点 $P$ 是线段 $A C$ 的垂直平分线和线段 $B D$ 的垂直平分线的交点，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ， $P D$ ．

(1)、求证： $∠ A B P = ∠ C D P$ ；

(2)、如图2，将线段 $C D$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ ，点 $D$ 恰好与点 $P$ 重合，试判断四边形 $A B C P$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图3，将线段 $C D$ 绕点 $C$ 逆时针旋转，使点 $D$ 落在线段 $P C$ 上的点 $E$ 处，连接 $D E$ ， $A E$ ，其中 $A E$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．若 $∠ D C E = 2 ∠ C D P$ ， $A F = E F$ ， $B F = 4$ ， $D E = 5$ ，则 $A F$ 的长为______．

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12、已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $(x_{1}, 0)$ ， $(x_{2}, 0)$ 两点 $(x_{1} < x_{2})$ ．

(1)、若 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 4$ ，求该抛物线解析式；

(2)、若抛物线 $y = x^{2} + b x + c - 1$ 与 $x$ 轴交于 $(p, 0)$ ， $(q, 0)$ 两点 $(p < q)$ ，则 $p$ ， $q$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 的大小关系是______；

(3)、已知抛物线 $y = x^{2} - 6 x + 8 + m$ 的图象与 $x$ 轴最多有一个公共点，若 $W = m^{2} - 2 k m - 3$ 的最小值为3，求 $k$ 的值．

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13、在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感．
【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线 $l_{1}$ 经过点 $A (- 8, 1)$ 和 $B (- 4, 3)$ ，右侧边界线 $l_{2}$ 的函数表达式为 $y = - 3 x + 6$ ， $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 相交于点 $P$ ，即点 $P$ 为灭点．
（1）求左侧边界线 $A B$ 的函数表达式；
（2）求灭点 $P$ 的坐标；
【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持 $l_{1}$ 的位置不变，将 $l_{2}$ 向上平移 $c$ 个单位长度 $(c > 0)$ ，使得灭点的纵坐标不小于6，求 $c$ 的取值范围．

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14、学校准备组织九年级游泳比赛，现将某班甲、乙、丙三位同学的5次游泳成绩整理成下列统计图表．

平均数
中位数
方差
甲
$8.8$
9
$0.56$
乙
$8.8$
$a$
$0.96$
丙
$b$
8
$0.96$
根据以上信息，完成下列问题：

(1)、 $a =$ ______， $b =$ ______；

(2)、若该班要从甲、乙、丙三位同学中选一位参加学校游泳比赛，你认为选谁更合适？请说明理由；

(3)、在比赛中，为避免受到极端值的影响，往往会采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方式处理数据．若数据处理前后，某同学游泳成绩的方差分别为 $c$ 和 $d$ ，则 $c$ 与 $d$ 的大小关系为：______．

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15、 $2016$ 年某市政府投资了 $150$ 万元用于建设绿道免费公共自行车租赁系统，之后逐年增加投资，用于建设新站点，配置公共自行车， $2018$ 年投资了 $216$ 万元，求 $2016$ 年到 $2018$ 年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率．

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16、计算： ${(- 2)}^{2} + \sqrt{12} - |- 4|$ ．

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17、在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $E$ ， $F$ 为对角线 $B D$ 上不重合的两个点（不包括端点）， $B E = D F$ ，连接 $A E$ 并延长交 $B C$ 于点 $G$ ，连接 $F G$ ， $C F$ ．此时 $A G$ 与 $F C$ 的位置关系为；若 $F G = F C$ ，则 $B E$ 的长为．

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18、数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图所示．其中射线 $O P$ 为 $∠ A O B$ 的平分线的编号为．

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19、若点 $A (- 2, y_{1})$ ， $B (2, y_{2})$ 在抛物线 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + k$ 上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系为： $y_{1}$ $y_{2}$ ．

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20、在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 垂直平分其中一条半径，弦 $A B$ 所对的圆心角为．

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	平均数	中位数	方差
甲	$8.8$	9	$0.56$
乙	$8.8$	$a$	$0.96$
丙	$b$	8	$0.96$