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1、在数学综合实践活动中，同学们准备测量学校旗杆 $B D$ 的高度．如图，甲、乙两同学分别站在 $A$ 处和 $C$ 处， $A F$ 和 $C E$ 为测角仪，两测角仪高度分别为 $A F = 2 m$ ， $C E = 1.5 m$ ，甲同学在 $F$ 处测得旗杆 $D$ 的仰角为 $26.6 °$ ；乙同学在 $E$ 处测得旗杆 $D$ 的仰角为 $45 °$ ．甲、乙两同学所处位置的水平距离 $A C = 38 m$ ，求旗杆 $B D$ 的高度．（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $sin 26.6 ° \approx 0.45$ ， $cos 26.6 ° \approx 0.89$ ， $tan 26.6 ° \approx 0.50$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

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2、如图1和2，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = α$ ， $∠ B C D = 180 ° - α$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．

(1)、如图1，若 $α = 90 °$ ，根据教材中一个重要性质直接可得 $D A = C D$ ，这个性质是___________；

(2)、问题解决：如图2，求证： $A D = C D$ ；

(3)、问题拓展：如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 100 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，求证： $B D + A D = B C$ ．

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3、【探索发现】如图1，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C B = C A$ ，直线 $D E$ 经过点 $C$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ D E$ 于点 $D$ ．过 $B$ 作 $B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，则 $△ B E C ≌ △ C D A$ ，我们称这种全等模型为“ $k$ 型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线 $y = k x + 6 (k \neq 0)$ 的图像与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A 、 B$ 两点．

(1)、如图2，当 $k = - \frac{3}{4}$ 时，在第一象限构造等腰直角 $△ A B E$ ， $∠ A B E = 90 °$ ；
①直接写出 $O A =$ ， $O B =$ ；
②点 $E$ 的坐标， $△ A B E$ 的面积；

(2)、如图3，当 $k$ 的取值变化，点 $A$ 随之在 $x$ 轴负半轴上运动时，在 $y$ 轴左侧过点 $B$ 作 $B N ⊥ A B$ ，并且 $B N = A B$ ，连接 $O N$ ，问 $△ O B N$ 的面积是否发生变化？若不变，求出 $△ O B N$ 的面积；若变，请说明理由；

(3)、【拓展应用】如图4，当 $k = - \frac{3}{2}$ 时，直线 $l$ ： $y = - 4$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $P (n, - 4)$ 、 $Q$ 分别是直线 $l$ 和直线 $A B$ 上的动点，点 $C$ 在 $x$ 轴上的坐标为 $(10, 0)$ ，当 $△ P Q C$ 是以 $C Q$ 为斜边的等腰直角三角形时，点 $Q$ 的坐标是______（直接写出答案即可）．

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4、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为 $y_{1}$ 千米，出租车离甲地的距离为 $y_{2}$ 千米．两车行驶的时间为 $x$ 小时， $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数图象如图所示：

(1)、根据图象，直接写出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、当 $x$ 为何值时，两车相遇？

(3)、当 $x$ 为何值时，两车相距280千米？

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5、先阅读，再解答．由 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = {(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 2$ 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，请完成下列问题：

(1)、 $\sqrt{2} - 1$ 的有理化因式是______；化简 $\frac{3}{3 - \sqrt{6}} =$ ______；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} =$ ______；

(3)、比较 $\sqrt{2023} - \sqrt{2022}$ 与 $\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$ 的大小，并说明理由．

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6、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (0, 2), B (2, - 2), C (4, - 1)$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $C_{1}$ 的坐标为______；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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7、解下列方程：

(1)、 $4 {(x - 1)}^{2} = 64$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} 4 x - y = 30 \\ x - y = 9 \end{matrix}$ ．

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8、如图，将对角线 $B D$ 长为 $16 \sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 折叠，使点B落在 $D C$ 边的中点 $Q$ 处，点 $A$ 落在 $P$ 处，折痕为 $E F$ ．连接 $E Q$ ，则 $E Q$ 的长为．

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9、一个正数的两个平方根分别是 $a - 1$ 和 $5 - 2 a$ ，则 $a =$ ．

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10、如图，两个不同的一次函数 $y = a x + b$ 与 $y = b x + a$ 的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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11、下列不是二元一次方程组的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4 \\ x - y = 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 6 \\ 2 x + y = 4 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = y - 1 \\ x + y = 1 \end{array}$

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12、如图，以直角三角形的三边为边长作三个正方形，字母B所代表的正方形的面积是（）

A、12 B、13 C、144 D、194

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13、下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ C、 $\sqrt{0.3}$ D、 $\sqrt{12}$

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14、在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将 $x^{2} - 9$ 因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将 $x^{3} - x$ 因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（）

A、141414 B、141315 C、131413 D、151415

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15、如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 4)$ ， $M$ 是线段 $A B$ 的中点．

(1)、求直线 $A B$ 的函数表达式；

(2)、若点 $P$ 是 $y$ 轴上一点，且使 $△ P A M$ 周长最小，求 $△ P A M$ 最小周长；

(3)、在（2）的条件下，若点 $N$ 在直线 $P M$ 上，且 $∠ A B O + ∠ O B N = 45 °$ ，求点 $N$ 的坐标．

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16、如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ， $A D = 4$ ， $C D = 1$ ．

(1)、求 $A B$ ， $B C$ 的长；

(2)、若点 $E$ 是射线 $D A$ 上的一个动点，作 $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连结 $F D$ ．
①当 $C F = C D$ 时，求 $D E$ 的长．
②设直线 $E F$ 交直线 $A B$ 于点 $P$ ，若 $A P : B P = 3 : 7$ ，求 $B E$ 的长．

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17、某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品 $x$ （吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为 $y$ （万元）．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式（不需要写出自变量取值范围）；

(2)、根据市场调研发现，甲产品需求量吨数范围是 $1000 \leq x \leq 1200$ ．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．

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18、在 $△ A B C$ 中，如图，点 $M$ 是边 $A C$ 的中点，点 $P$ 是边 $A B$ 上的点， $Q$ 在边 $B C$ 的延长线上，且 $P M ⊥ Q M$ ，连接 $P Q$ ，若 $∠ B = 30 °$ ， $A P = 6$ ， $P Q = 5$ ，则 $C Q$ 的长度为．

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19、已知 $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$ ， $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ ， $\sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{\frac{x}{y}} =$ ．

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20、若 $\sqrt{11}$ 的整数部分是 $m$ ， $\sqrt{5}$ 的整数部分是 $n$ ，则 $\sqrt{5} - \sqrt{m + n} =$ ．

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