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1、【教材呈现】下题是某某版七年级上册数学教材的一道练习：代数式 $2 x^{2} + 3 x + 7$ 的值为8，则代数式 $4 x^{2} + 6 x - 9$ 的值为______．
【阅读理解】小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下：
由题意得 $2 x^{2} + 3 x + 7 = 8$ ，则有 $2 x^{2} + 3 x = 1$ ，
所以 $4 x^{2} + 6 x - 9 = 2 (2 x^{2} + 3 x) - 9 = 2 \times 1 - 9 = - 7$
所以代数式 $4 x^{2} + 6 x - 9$ 的值为 $- 7$ ．
【解决问题】请运用小明的方法解决下列问题：

(1)、若代数式 $x^{2} + x + 1$ 的值为2，求代数式 $2 x^{2} + 2 x + 3$ 的值；

(2)、当 $x = 2$ 时，代数式 $a x^{3} + b x + 3$ 的值为9，当 $x = - 2$ 时，求代数式 $a x^{3} + b x + 4$ 的值；

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2、阅读下题的计算方法
计算： $- 5 \frac{5}{6} + (- 9 \frac{2}{3}) + 17 \frac{3}{4} + (- 3 \frac{1}{2})$
解：原式 $= [(- 5) + (- \frac{5}{6})] + [(- 9) + (- \frac{2}{3})] + (17 + \frac{3}{4}) + [(- 3) + (- \frac{1}{2})]$
$= [(- 5) + (- 9) + 17 + (- 3)] + [(- \frac{5}{6}) + (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{4} + (- \frac{1}{2})]$
$= 0 + (- \frac{5}{4})$
$= - \frac{5}{4}$
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： $(- 2022 \frac{5}{6}) + (- 2023 \frac{2}{3}) + 2024 \frac{3}{4} + (- 1 \frac{1}{2})$

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3、计算

(1)、 $2 a x^{2} - 3 a x^{2} - 5 a x^{2}$

(2)、 $- (-2 x^{2} y) - (+ 3 x y^{2}) + 2 (- 5 x^{2} y + 2 x y^{2})$

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4、计算

(1)、 $(+ 7) - (+ 8) + (- 3) - (- 6) + 2$

(2)、 $- 3^{2} - {(- 2)}^{2} + {(- 3)}^{3} - 2^{3}$

(3)、 $(- \frac{9}{5}) \times {(- \frac{5}{3})}^{2} + (- \frac{3}{8}) \div [{(- \frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{4}]$

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5、将多项式 $2 x^{3} y - 5 x y^{2} + x^{2} - y^{3}$ 按字母 $y$ 的降幂排列为．

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6、若 $|1 - a| + |b + 3| = 0$ ， $a b + 2$ 的值为．

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7、 ${(- 1)}^{2004} + {(+ 1)}^{2004}$ 的值等于．

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8、如果单项式 $\frac{3}{5} x^{m - 1} y^{2 n}$ 与 $- \frac{5}{4} x^{3} y^{n + 3}$ 是同类项，那么 $m =$ $n =$ ．

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9、已知有理数 $a, b, c$ 在数轴山峰对应位置如图所示，化简 $|a + b| - |c - b| + |a - c|$ 的结果为（）

A、 $- 2 a$ B、 $2 a + 2 b - 2 c$ C、 $- a - c$ D、无法确定

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10、在多项式 $2 y^{4} z^{2} - 4 x^{5} + 6 y^{3} - 8$ 中，最高次项的系数和常数项分别为（）

A、2和 $- 8$ B、 $- 4$ 和 $- 8$ C、6和 $- 8$ D、 $- 4$ 和8

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11、如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛 $A B$ 在暗盒中所成的像 $C D$ 的长是 $1 cm$ ，则像 $C D$ 到小孔O的距离为 $cm$ ．

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12、如图， $Δ A B C$ 是边长为 $6$ 的等边三角形， $P$ 是 $A C$ 边上一动点，由 $A$ 向 $C$ 运动（与 $A$ 、 $C$ 不重合）， $Q$ 是 $C B$ 延长线上一动点，与点 $P$ 同时以相同的速度由 $B$ 向 $C B$ 延长线方向运动（ $Q$ 不与 $B$ 重合），过 $P$ 作 $P E ⊥ A B$ 于 $E$ ，连接 $P Q$ 交 $A B$ 于 $D$ ．
（1）若 $A E = 1$ 时，求 $A P$ 的长；
（2）当 $∠ B Q D = 30 °$ 时，求 $A P$ 的长；
（3）在运动过程中线段 $E D$ 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 $E D$ 的长；如果发生变化，请说明理由．

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13、已知：如图， $△ A B C$ 中，请你按下列要求读句画图：(“作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹并写出结论)．

(1)、用尺规作图作 $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ 交边 $B C$ 于 $D$ 点；

(2)、作线段 $A D$ 的垂直平分线 $E F$ ，交 $A D$ 于 $E$ 点，交 $B C$ 的延长线于 $F$ 点；

(3)、根据（1）（2）作图，连接 $A F$ ，若 $∠ B = 40 °$ ，请求出 $∠ C A F$ 的度数．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $E F$ 为 $A B$ 的垂直平分线， $E F$ 交 $A B$ 于点F，交 $A B$ 于点E，且 $E F = 3$ ，则 $B C$ 的长为．

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15、如图，已知等边 $△$ ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；② $△$ EDP≌ $△$ GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的个数是（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都是正八边形的顶点，连接 $A B$ ， $B C$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为（）

A、 $55 °$ B、 $50 °$ C、 $45 °$ D、 $36 °$

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17、如图， $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 关于直线 $l$ 对称，连接 $A A^{'} ， B B^{'} ， C C^{'}$ ，其中 $A A^{'}$ 与直线 $l$ 交于点 $O$ ，点 $D$ 为直线 $l$ 上一点，且不与点 $O$ 重合，连接 $A D 、 A^{'} D$ ．下列说法错误的是（　　）

A、 $∠ A C B = ∠ A^{'} C^{'} B^{'}$ B、线段 $A A^{'} ， B B^{'} ， C C^{'}$ 被直线 $l$ 垂直平分 C、 $△ A D A^{'}$ 为等腰三角形 D、线段 $A C 、 A^{'} C^{'}$ 所在直线的交点不一定在直线 $l$ 上

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18、王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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19、如图，两个正方形 $A B C D$ 与 $D E F G$ ，连接 $A G ， C E$ ，二者相交于点H．

(1)、请说明 $A G ， C E$ 的位置和数量关系，并给予证明；

(2)、连接 $A E$ 和 $C G$ ，请问 $△ A D E$ 的面积和 $△ C D G$ 的面积有怎样的数量关系？并说明理由．

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20、角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图， $△ A B C$ 的角平分线 $B P$ 交 $A C$ 于点 $P$ ，则 $\frac{A P}{C P} = \frac{A B}{B C}$ ．

(1)、求证： $\frac{A P}{C P} = \frac{A B}{B C}$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $B C = 12$ ， $A C = 10$ ，求 $A P$ 的长．

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