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1、（1）先化简，再求值： $(\frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 4 a + 4} - \frac{a}{a - 2}) \div \frac{a^{2} + 2 a}{a - 2}$ ，且 $a$ 的值满足 $a^{2} + 2 a - 8 = 0$ ．
（2） ${(- \frac{x^{2}}{y})}^{2} \cdot \frac{y^{2}}{x} \div {(- \frac{y}{x})}^{4}$ ．

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2、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， $A B = A C = 24$ 厘米， $B C = 16$ 厘米，点D为 $A B$ 的中点．如果点P在线段 $B C$ 上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段 $A C$ 上由C点向A点运动，当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使 $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 全等．

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3、已知 $\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$ ，则 $A + B =$ ．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， A D ⊥ B C$ 于点D， $C E ⊥ A B$ 于点E．若点P是 $A D$ 上一动点，连接 $P E ， P B$ ，则 $P E ＋ P B$ 的最小值是等于下列哪条线段的长（）

A、 $A D$ B、 $A B$ C、 $A C$ D、 $C E$

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5、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B$ 边的垂直平分线 $D E$ 交 $B C$ 于点D，交 $A B$ 于点E，连接 $A D$ ， $A D$ 将 $∠ C A B$ 分成两个角，且 $∠ C A D : ∠ B A D = 2 : 5$ ，则 $∠ A D C$ 的度数是（）

A、 $70 °$ B、 $75 °$ C、 $80 °$ D、 $85 °$

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6、有理数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 表示在数轴上得到点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，我们就把 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 叫做 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的一维坐标，一般的称 $|x_{2} - x_{1}|$ 为点 $A_{1}$ 与点 $A_{2}$ 之间的距离．如 $|5 - (- 2)|$ 表示 $5$ 与 $- 2$ 之差的绝对值，实际上也可以理解为 $5$ 与 $- 2$ 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．

(1)、 $|5 - (- 2)| =$ ______；数轴上 $x$ 与 $- 4$ 两数所对应的两点之间的距离表示为____________

(2)、试用数轴探究：当 $|m - 2| = 3$ 时， $m$ 的值是____________

(3)、找出所有符合条件的整数 $x$ ，使得 $|x - 2 |+| x + 5| = 7$ ，这样的整数有__________．（直接写出答案）

(4)、利用数轴求出 $|x - 3 |+| x + 6|$ 的最小值．（直接写出答案即可）

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7、【教材呈现】下题是某某版七年级上册数学教材的一道练习：代数式 $2 x^{2} + 3 x + 7$ 的值为8，则代数式 $4 x^{2} + 6 x - 9$ 的值为______．
【阅读理解】小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下：
由题意得 $2 x^{2} + 3 x + 7 = 8$ ，则有 $2 x^{2} + 3 x = 1$ ，
所以 $4 x^{2} + 6 x - 9 = 2 (2 x^{2} + 3 x) - 9 = 2 \times 1 - 9 = - 7$
所以代数式 $4 x^{2} + 6 x - 9$ 的值为 $- 7$ ．
【解决问题】请运用小明的方法解决下列问题：

(1)、若代数式 $x^{2} + x + 1$ 的值为2，求代数式 $2 x^{2} + 2 x + 3$ 的值；

(2)、当 $x = 2$ 时，代数式 $a x^{3} + b x + 3$ 的值为9，当 $x = - 2$ 时，求代数式 $a x^{3} + b x + 4$ 的值；

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8、阅读下题的计算方法
计算： $- 5 \frac{5}{6} + (- 9 \frac{2}{3}) + 17 \frac{3}{4} + (- 3 \frac{1}{2})$
解：原式 $= [(- 5) + (- \frac{5}{6})] + [(- 9) + (- \frac{2}{3})] + (17 + \frac{3}{4}) + [(- 3) + (- \frac{1}{2})]$
$= [(- 5) + (- 9) + 17 + (- 3)] + [(- \frac{5}{6}) + (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{4} + (- \frac{1}{2})]$
$= 0 + (- \frac{5}{4})$
$= - \frac{5}{4}$
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： $(- 2022 \frac{5}{6}) + (- 2023 \frac{2}{3}) + 2024 \frac{3}{4} + (- 1 \frac{1}{2})$

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9、计算

(1)、 $2 a x^{2} - 3 a x^{2} - 5 a x^{2}$

(2)、 $- (-2 x^{2} y) - (+ 3 x y^{2}) + 2 (- 5 x^{2} y + 2 x y^{2})$

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10、计算

(1)、 $(+ 7) - (+ 8) + (- 3) - (- 6) + 2$

(2)、 $- 3^{2} - {(- 2)}^{2} + {(- 3)}^{3} - 2^{3}$

(3)、 $(- \frac{9}{5}) \times {(- \frac{5}{3})}^{2} + (- \frac{3}{8}) \div [{(- \frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{4}]$

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11、将多项式 $2 x^{3} y - 5 x y^{2} + x^{2} - y^{3}$ 按字母 $y$ 的降幂排列为．

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12、若 $|1 - a| + |b + 3| = 0$ ， $a b + 2$ 的值为．

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13、 ${(- 1)}^{2004} + {(+ 1)}^{2004}$ 的值等于．

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14、如果单项式 $\frac{3}{5} x^{m - 1} y^{2 n}$ 与 $- \frac{5}{4} x^{3} y^{n + 3}$ 是同类项，那么 $m =$ $n =$ ．

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15、已知有理数 $a, b, c$ 在数轴山峰对应位置如图所示，化简 $|a + b| - |c - b| + |a - c|$ 的结果为（）

A、 $- 2 a$ B、 $2 a + 2 b - 2 c$ C、 $- a - c$ D、无法确定

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16、在多项式 $2 y^{4} z^{2} - 4 x^{5} + 6 y^{3} - 8$ 中，最高次项的系数和常数项分别为（）

A、2和 $- 8$ B、 $- 4$ 和 $- 8$ C、6和 $- 8$ D、 $- 4$ 和8

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17、如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛 $A B$ 在暗盒中所成的像 $C D$ 的长是 $1 cm$ ，则像 $C D$ 到小孔O的距离为 $cm$ ．

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18、如图， $Δ A B C$ 是边长为 $6$ 的等边三角形， $P$ 是 $A C$ 边上一动点，由 $A$ 向 $C$ 运动（与 $A$ 、 $C$ 不重合）， $Q$ 是 $C B$ 延长线上一动点，与点 $P$ 同时以相同的速度由 $B$ 向 $C B$ 延长线方向运动（ $Q$ 不与 $B$ 重合），过 $P$ 作 $P E ⊥ A B$ 于 $E$ ，连接 $P Q$ 交 $A B$ 于 $D$ ．
（1）若 $A E = 1$ 时，求 $A P$ 的长；
（2）当 $∠ B Q D = 30 °$ 时，求 $A P$ 的长；
（3）在运动过程中线段 $E D$ 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 $E D$ 的长；如果发生变化，请说明理由．

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19、已知：如图， $△ A B C$ 中，请你按下列要求读句画图：(“作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹并写出结论)．

(1)、用尺规作图作 $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ 交边 $B C$ 于 $D$ 点；

(2)、作线段 $A D$ 的垂直平分线 $E F$ ，交 $A D$ 于 $E$ 点，交 $B C$ 的延长线于 $F$ 点；

(3)、根据（1）（2）作图，连接 $A F$ ，若 $∠ B = 40 °$ ，请求出 $∠ C A F$ 的度数．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $E F$ 为 $A B$ 的垂直平分线， $E F$ 交 $A B$ 于点F，交 $A B$ 于点E，且 $E F = 3$ ，则 $B C$ 的长为．

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