相关试卷

1、电影《哪吒之魔童闹海》于北京时间 $2025$ 年 $2$ 月 $28$ 日全球累计票房（含预售及海外）突破 $140$ 亿元．数据 $140$ 亿用科学记数法表示为（）

A、 $14 \times 10^{8}$ B、 $14 \times 10^{9}$ C、 $1.4 \times 10^{10}$ D、 $140 \times 10^{8}$

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2、我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边．

(1)、下列选项中一定是“奇妙”四边形的是______．（填写序号）；
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形

(2)、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $D B$ 平分 $∠ A B C, ∠ A + ∠ C = 180 °$ ，请说明四边形 $A B C D$ 是“奇妙”四边形；

(3)、已知在“奇妙”四边形 $A B C D$ 中，“奇妙”边为两相邻边，其中一条“奇妙”边 $A B = \sqrt{3}$ ，对角线 $B D = \sqrt{6}, ∠ A D C = 60 °$ ，求该“奇妙”四边形的周长．

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3、综合与实践

活动主题	扇面制作
活动情景	如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知 $∠ A O B = 120 °$ ， $O A = 30 cm$ ， $O D = 15 cm$ ．
活动小组	甲组	乙组
制作工具	直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
制作材料

【任务一】确定弦的长度．

如图2，请你求出 $\overset{⌢}{A B}$ 所对弦 $A B$ 的长度．

【任务二】设计甲组扇面．

如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为 $30 \sqrt{3} cm ．$ 请运用表格中所给工具在 $⊙ O_{1}$ 中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据．

【任务三】确定卡纸大小．

如图4，乙组利用矩形卡纸 $E F G H$ ，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）．

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4、心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化.开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟）的变化规律如下图所示（其中 $A B$ 、 $C D$ 分别为线段， $C D$ 为双曲线的一部分）．
(1)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知——自主探索，合作交流——总结归纳，巩固提高”.其中重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由.

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5、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 上一点，且AE=3 ，F 为BC 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，连接AG ，则AG 的最小值为．

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6、某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈ $\frac{4}{5}$ ， cos53°≈ $\frac{3}{5}$ ， tan53°≈ $\frac{4}{3}$ ）．

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7、已知 $a$ 是方程 $2 x^{2} - x - 3 = 0$ 的一个解，则 $2 a^{2} - a$ 的值是．

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8、比例式 $\frac{4}{3} = \frac{5}{x}$ 中 $x$ 的值等于．

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9、如图，一次函数 $y_{1} = k x + b$ 的图象和反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (1, 2)$ ， $B (- 2, - 1)$ 两点，若 $y_{1} \geq y_{2}$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x \leq - 2$ C、 $- 2 \leq x < 0$ 或 $x \geq 1$ D、 $x \leq - 2$ 或 $0 < x \leq 1$

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10、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 $6210$ 文．如果每株椽的运费是 $3$ 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 $6210$ 文能买多少株椽？设这批椽的数量为 $x$ 株，则符合题意的方程是（）

A、 $3 (x + 1) x = 6210$ B、 $3 (x - 1) x = 6210$ C、 $(3 x - 1) x = 6210$ D、 $(3 x + 1) x = 6210$

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11、“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是 $A B$ 的黄金分割点（ $A P > P B$ ），如果 $A B$ 长为 $8 cm$ ，那么 $A P$ 的长约为（　　） $cm$ ．

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $12 - 4 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{5} - 4$ D、 $8 \sqrt{5} - 8$

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12、从甲地到乙地有 $A, B, C$ 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时的频数
公交车用时
线路
$30 \leq t \leq 35$
$35 \leq t \leq 40$
$40 \leq t \leq 45$
$45 \leq t \leq 50$
合计
$A$
45
265
167
23
500
$B$
59
151
166
124
500
$C$
50
50
122
278
500
早高峰期间，乘坐哪条线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大（）

A、线路 $A$ B、线路 $B$ C、线路 $C$ D、不能确定

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13、某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中 $A B ∥ C D ∥ E F ∥ G H$ ， $A C = 30$ ， $C E = 40$ ， $D F = 50$ ，（单位： $cm$ ），则 $B D$ 的长度是（）

A、 $37cm$ B、 $37 .5cm$ C、 $\frac{200}{3} cm$ D、 $38 .5cm$

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14、若 $α$ 、 $β$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ 的两根（ $α \neq β$ ），则 $α + β =$ （）

A、-3 B、3 C、-10 D、10

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15、在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程．
问题呈现过点 $C (a, b)$ 的直线 $y = k x + c (k, c$ 为常数且 $k \neq 0)$ 分别交 $x$ 轴的正半轴和 $y$ 轴的正半轴于点 $A$ 和 $B$ ，探究并说明 $\frac{a}{O A} + \frac{b}{O B}$ 是定值．

(1)、特例探究如图1，过点 $C (2, 2)$ 的直线 $y = - 2 x + 6$ 分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于点 $A$ 和 $B$ ，求 $\frac{1}{O A} + \frac{1}{O B}$ 的值；

(2)、一般证明
① $a = 2, b = 3$ 时，直接写出 $\frac{2}{O A} + \frac{3}{O B} =$ _____；
②求出 $\frac{a}{O A} + \frac{b}{O B}$ 的值；

(3)、类比推广如图2，已知 $H (- 4, 0), T (0, 2)$ ，点 $M$ 在 $x$ 轴的正半轴上，过 $M$ 且不与 $y$ 轴平行的直线 $l$ 交直线 $H T$ 于第一象限点 $N$ ，若总有 $\frac{4}{H M} + \frac{\sqrt{5}}{H N} = 1$ ，请探究：直线 $l$ 是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由．

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16、如图1，在等边三角形 $A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $B C$ 运动上，且满足 $B D = C E$ ，连接 $A E 、 C D, A E$ 与 $C D$ 相交于 $G$ ．

(1)、求证： $∠ A G D = 60 °$ ；

(2)、如图2，若边长为4，过点 $A$ 作 $A M ⊥ C D$ ，分别交 $C D$ 、 $B C$ 于 $M$ 、 $N$ ，设 $B N = x, E N = y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的等量关系；

(3)、如图3，在（2）问的条件下，连接 $B G$ ，当 $A G = 2 C G$ 时，求 $B G$ 的长度．

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，如果点 $P$ 到原点 $O$ 的距离为 $m$ ，点 $Q$ 到点 $P$ 的距离是 $m$ 的 $k$ 倍（ $k$ 为正整数），那么称点 $Q$ 为点 $P$ 的“ $k$ 倍共生点”．若点 $P_{1}$ 的坐标为 $(1, 0)$ 时，如果点 $Q (x, y)$ 是点 $P_{1}$ 的“ $k$ 倍共生点”．且满足 $x = - 3, - 1 \leq y \leq 3$ ，那么 $k$ 的最大值为；如果点 $P_{2}$ 的坐标为 $(1, 1)$ ，且在函数 $y = x + b$ 的图象上存在 $P_{2}$ 的“2倍共生点”，求出 $b$ 的取值范围．

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18、如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $P$ 为 $C D$ 上一个动点，以 $A P$ 为对称轴折叠 $△ D A P$ 得到 $△ Q A P$ ，点 $D$ 的对应点为点 $Q$ ，直线 $P Q$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，若 $A D = 3, A B = 5$ ，当点 $P$ 与点 $C$ 重合时， $B M$ 的长为，当 $A M$ 有最小值时， $D Q$ 的长为．

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19、已知 $a + b = 3 + \sqrt{2}, a - b = 3 - \sqrt{2}$ ，求代数式 $2 a^{2} - 2 b^{2}$ 的值是．

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20、如图，直线 $l_{1} : y = x + a$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ， $C$ 点在 $x$ 轴上 $A$ 点的右边， $A C = 7$ ，经过点 $C$ 的直线 $l_{2}$ 与正比例函数 $y = - \frac{1}{2} x$ 的图象平行，直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 相交于点 $D$ ，点 $P$ 为直线 $l_{1}$ 上一动点．

(1)、求点 $D$ 坐标；

(2)、若 $7 S_{△ P C D} = 6 S_{△ A C D}$ ，请求出 $P$ 点的坐标；

(3)、若在平面内存在一点 $Q$ ，使得四点 $C$ 、 $D$ 、 $P$ 、 $Q$ 构成菱形，若存在，请直接写出点 $P$ 横坐标的值，若不存在，请说明理由．

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公交车用时的频数公交车用时线路	$30 \leq t \leq 35$	$35 \leq t \leq 40$	$40 \leq t \leq 45$	$45 \leq t \leq 50$	合计
$A$	45	265	167	23	500
$B$	59	151	166	124	500
$C$	50	50	122	278	500