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1、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $A E ⊥ B D$ 交 $B D$ 于 $E$ ， $C F ⊥ B D$ 交 $B D$ 于 $F$ ．

(1)、证明： $A E = C F$ ．

(2)、若 $A B = A O$ ， $∠ B A O = 90 °$ ， $A H ⊥ B C$ 交 $B C$ 于 $H$ ，当 $A B = 3$ 时，求线段 $B C$ 和 $A H$ 的长度．

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2、如图，平面直角坐标系中，已知点 $A (- 2, 4) ， B (- 4, 1) ， C (0, 1)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 向右平移5个单位长度，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ 的坐标：

(2)、将 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 旋转 $180^{\circ}$ ，画出旋转后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、连接 $B C_{2} ， C B_{2}$ ，请求出四边形 $B C_{2} B_{2} C$ 的面积．

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3、先化简 $(x + 1 - \frac{x^{2}}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，再从 $- 1$ ， 0，1中选择一个恰当的数代入求值．

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4、计算：

(1)、 $\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{x - 1}{x - 2}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 2 x - 7 < 3 (x - 1) ① \\ \frac{4}{3} x + 3 \leq 1 - \frac{2}{3} x ② \end{array}$

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5、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ．以 $B$ 为圆心，小于 $A B$ 长为半径画弧，分别交 $A B 、 B C$ 于点 $E 、 F$ ，再分别以点 $E 、 F$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $O$ ．连接 $B O$ 并延长，与 $A D$ 相交于点 $G$ ，连接 $C G$ ，若 $C G ⊥ A D$ ，则 $C G =$ ．

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6、如图，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 方向平移 $4 cm$ 得到 $△ D E F$ ，若 $△ A B C$ 的周长为 $30 cm$ ，则四边形 $A B F D$ 的周长为 $cm$ ．

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7、若关于 $x$ 的不等式 $3 x - 2 > 2 x + k$ 的解集是 $x > 1$ ，则 $k$ 的值为．

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8、若分式 $\frac{x - 2025}{x + 2025}$ 的值为0，则 $x =$ ．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $∠ B = 30^{\circ}$ ， $A B = 10$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $15^{\circ}$ 得到 $△ A B^{'} C^{'} ， B^{'} C^{'}$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，则 $B^{'} E$ 的长为（）

A、 $5 \sqrt{3} - 5$ B、 $10 - 5 \sqrt{3}$ C、5 D、 $5 \sqrt{2}$

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10、为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（　　）

A、 $\{\begin{cases} 2 x \geq 50 - x \\ 80 x + 50 (50 - x) < 3200 \end{cases}$ B、 $\{\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} (50 - x) \\ 80 x + 50 (50 - x) < 3200 \end{cases}$ C、 $\{\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} (50 - x) \\ 80 x + 50 (50 - x) \leq 3200 \end{cases}$ D、 $\{\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} (50 - x) \\ 50 x + 80 (50 - x) < 3200 \end{cases}$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上的一点， $A C = A D$ ， $E$ 为 $A B$ 边上一点， $E F$ 垂直平分 $B D$ ，若 $A B = 8 ， A C = 6$ ，则 $△ A D E$ 的周长为（）

A、20 B、18 C、16 D、14

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12、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，下列结论不一定正确的是（）

A、 $A C ⊥ B D$ B、 $∠ B A D + ∠ A B C = 180^{\circ}$ C、 $A D = B C$ D、 $O A = O C$

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13、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ B、 $x^{3} - 1 = x (x^{2} - \frac{1}{x})$ C、 $x^{2} - 3 x - 4 = x (x - 3) - 4$ D、 $x^{2} + 4 x + 4 = {(x + 2)}^{2}$

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14、若 $a > b$ ，则下列不等式不正确的是（）

A、 $a + 5 > b + 5$ B、 $4 a > 4 b$ C、 $- 3 a > - 3 b$ D、 $a - 1 > b - 1$

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15、【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；
【拓展延伸】（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）中的结论是否成立？请作出判断，不需要证明．

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16、如图，已知在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF＝AD．
（1）若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
（2）求证：CD＝DG+FC．

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17、如图，四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A O = C O$ ， $B O = D O$ ，且 $∠ A B C = 90 °$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．

(2)、若 $∠ A C B = 30 °$ ，求 $∠ A O B$ 的度数．

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18、求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．要求：画出图形，写出已知和求证，并证明．

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19、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、若 $c = 13$ ， $b = 5$ ，则 $a =$ ______；

(2)、已知 $a : b = 3 : 4$ ， $c = 15$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值．

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20、（1）先化简，再求值： $(- x^{2} + 3 - 7 x) - (7 - 5 x - 2 x^{2})$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．
（2）已知 $a = 2 + \sqrt{3}$ ， $b = 2 - \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + b^{2} + a b$ 的值．

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