相关试卷

1、

(1)、【特例感知】
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 在边 $A B$ 的延长线上，连结 $P D$ ，过点 $D$ 作 $D M ⊥ P D$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $M$ ．求证：△ $D A P ≅$ △ $D C M$ ．

(2)、【变式求异】
如图2，在 $R t$ △ $A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，过点 $D$ 作 $D Q ⊥ A B$ ，交 $A C$ 于点 $Q$ ，点 $P$ 在边 $A B$ 的延长线上，连结 $P Q$ ，过点 $Q$ 作 $Q M ⊥ P Q$ ，交射线 $B C$ 于点 $M$ ．已知 $B C = 8$ ， $A C = 10$ ， $A D = 2 D B$ ，求 $\frac{P Q}{Q M}$ 的值．

(3)、【拓展应用】
如图3，在 $R t$ △ $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $P$ 在边 $A B$ 的延长线上，点 $Q$ 在边 $A C$ 上（不与点 $A$ ， $C$ 重合），连结 $P Q$ ，以 $Q$ 为顶点作 $∠ P Q M = ∠ P B C$ ， $∠ P Q M$ 的边 $Q M$ 交射线 $B C$ 于点 $M$ ．若 $A C = m A B$ ， $C Q = n A C (m$ ， $n$ 是常数），求 $\frac{P Q}{Q M}$ 的值（用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示）．

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2、如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = x^{2} - 4 x + c$ 的图象与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0, 5)$ ，图象的顶点为 $M$ ．矩形 $A B C D$ 的顶点 $D$ 与原点 $O$ 重合，顶点 $A$ ， $C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上，顶点 $B$ 的坐标为 $(1, 5)$ ．

(1)、求 $c$ 的值及顶点 $M$ 的坐标．

(2)、如图2，将矩形 $A B C D$ 沿 $x$ 轴正方向平移 $t$ 个单位 $(0 < t < 3)$ 得到对应的矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ．已知边 $C^{'} D^{'}$ ， $A^{'} B^{'}$ 分别与函数 $y = x^{2} - 4 x + c$ 的图象交于点 $P$ ， $Q$ ，连接 $P Q$ ，过点 $P$ 作 $P G ⊥ A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ．
①当 $t = 2$ 时，求 $Q G$ 的长；
②当点 $G$ 与点 $Q$ 不重合时，是否存在这样的 $t$ ，使得 $Δ P G Q$ 的面积为1？若存在，求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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3、某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量 $y$ （千克）与销售价格 $x$ （元 $/$ 千克） $(30 ⩽ x < 60)$ 存在一次函数关系，部分数据如表所示：
销售价格 $x$ （元 $/$ 千克）
50
40
日销售量 $y$ （千克）
100
200

(1)、试求出 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式．

(2)、设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为 $W$ 元，如果不考虑其他因素，求当销售价格 $x$ 为多少时，日销售利润 $W$ 最大？最大的日销售利润是多少元？

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4、如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $O$ 在边 $A C$ 上，以点 $O$ 为圆心， $O C$ 为半径的半圆与斜边 $A B$ 相切于点 $D$ ，交 $O A$ 于点 $E$ ，连结 $O B$ ．

(1)、求证： $B D = B C$ ．

(2)、已知 $O C = 1$ ， $∠ A = 30 °$ ，求 $A B$ 的长．

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5、如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，连结 $D E$ ．已知 $B C = 10$ ， $A D = 12$ ，求 $B D$ ， $D E$ 的长．

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6、解一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > x ① \\ x < - 3 x + 8 ② \end{array}$ ．

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7、如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形 $A B C D$ ，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰 $R t$ △ $A B E$ 和等腰 $R t$ △ $B C F$ ， ③和④分别是 $R t$ △ $C D G$ 和 $R t$ △ $D A H$ ， ⑤是正方形 $E F G H$ ，直角顶点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在边 $B F$ ， $C G$ ， $D H$ ， $A E$ 上．
⑴若 $E F = 3 c m$ ， $A E + F C = 11 c m$ ，则 $B E$ 的长是 $c m$ ．
⑵若 $\frac{D G}{G H} = \frac{5}{4}$ ，则 $t a n ∠ D A H$ 的值是．

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8、某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架 $(E F)$ 放在离树 $(A B)$ 适当距离的水平地面上的点 $F$ 处，再把镜子水平放在支架 $(E F)$ 上的点 $E$ 处，然后沿着直线 $B F$ 后退至点 $D$ 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端 $A$ ，再用皮尺分别测量 $B F$ ， $D F$ ， $E F$ ，观测者目高 $(C D)$ 的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知 $C D ⊥ B D$ 于点 $D$ ， $E F ⊥ B D$ 于点 $F$ ， $A B ⊥ B D$ 于点 $B$ ， $B F = 6$ 米， $D F = 2$ 米， $E F = 0.5$ 米， $C D = 1.7$ 米，则这棵树的高度 $(A B$ 的长）是米．

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9、如图， $O A$ 是 $⊙ O$ 的半径，弦 $B C ⊥ O A$ 于点 $D$ ，连结 $O B$ ．若 $⊙ O$ 的半径为 $5 c m$ ， $B C$ 的长为 $8 c m$ ，则 $O D$ 的长是 $c m$ ．

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10、计算： $(a + 1) (a - 1) =$ ．

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11、已知在平面直角坐标系中，正比例函数 $y = k_{1} x (k_{1} > 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} > 0)$ 的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点 $A (t, p)$ 和点 $B (t + 2, q)$ 在函数 $y = k_{1} x$ 的图象上 $(t \neq 0$ 且 $t \neq - 2)$ ，点 $C (t, m)$ 和点 $D (t + 2, n)$ 在函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象上．当 $p - m$ 与 $q - n$ 的积为负数时， $t$ 的取值范围是（　　）

A、 $- \frac{7}{2} < t < - 3$ 或 $\frac{1}{2} < t < 1$ B、 $- \frac{7}{2} < t < - 3$ 或 $1 < t < \frac{3}{2}$ C、 $- 3 < t < - 2$ 或 $- 1 < t < 0$ D、 $- 3 < t < - 2$ 或 $0 < t < 1$

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12、如图，已知 $∠ A O B$ ，以点 $O$ 为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于 $C$ ， $D$ 两点，分别以点 $C$ ， $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径作圆弧，两条圆弧交于 $∠ A O B$ 内一点 $P$ ，连结 $O P$ ，过点 $P$ 作直线 $P E / / O A$ ，交 $O B$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作直线 $P F / / O B$ ，交 $O A$ 于点 $F$ ．若 $∠ A O B = 60 °$ ， $O P = 6 c m$ ，则四边形 $P F O E$ 的面积是（　　）

A、 $12 \sqrt{3} c m^{2}$ B、 $6 \sqrt{3} c m^{2}$ C、 $3 \sqrt{3} c m^{2}$ D、 $2 \sqrt{3} c m^{2}$

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13、某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为 $x$ ，那么可列出方程是（　　）

A、 $20 (1 + 2 x) = 31.2$ B、 $20 (1 + 2 x) - 20 = 31.2$ C、 $20 (1 + x)^{2} = 31.2$ D、 $20 (1 + x)^{2} - 20 = 31.2$

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14、某住宅小区6月1日 $~ 6$ 月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（　　）

A、25立方米 B、30立方米 C、32立方米 D、35立方米

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15、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上，连结 $A B$ ， $A C$ ， $O B$ ， $O C$ ．若 $∠ B A C = 50 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数是（　　）

A、 $80 °$ B、 $90 °$ C、 $100 °$ D、 $110 °$

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16、若分式 $\frac{x - 1}{3 x + 1}$ 的值为0，则 $x$ 的值是（　　）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 3$

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17、国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告 $(2022$ 年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（　　）

A、 $0.502 \times 1 0^{6}$ B、 $5.02 \times 1 0^{6}$ C、 $5.02 \times 1 0^{5}$ D、 $50.2 \times 1 0^{4}$

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18、【背景资料】
最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆．
【动手操作】
如图1， $△ A B C$ 中， $∠ B A C > 90 °$ ，请作出 $△ A B C$ 的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移运用】
正方形 $A B C D$ 的边长为7，在边 $C D$ 上截取 $C E = 2$ ，以 $C E$ 为边向外作正方形 $C E F G$ ．
（1）如图2，连接 $A F, D F$ ，求 $△ A D F$ 的最小覆盖圆的直径；
（2）将图2中的正方形 $C E F G$ 绕点C逆时针旋转 $90 °$ （如图3）， $⊙ O$ 经过A，D，F三点，且与边 $A B, C D$ 分别交于点I，L，求 $△ A D F$ 的最小覆盖圆的直径；
（3）将正方形 $C E F G$ 绕点C旋转，分别取 $D B, B G, G E, E D$ 的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形 $M N P Q$ （如图4）．在旋转过程中，四边形 $M N P Q$ 的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围．

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19、用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离 $x$ 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点 $F$ ，运动路径近似为抛物线 $C_{1}$ ，且 $C_{1} : y = a x^{2} + b x + c$ ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 $G$ ，运动路径近似为抛物线 $C_{2}$ ，且 $C_{2} : y = - \frac{1}{5} x^{2} + m x + n$ ．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）

(1)、如图②，当 $a = - \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}$ 时，若点 $F$ 坐标为 $(2, 0)$ ，求抛物线 $C_{1}$ 的表达式；

(2)、在（1）的条件下，若 $F G = 4$ ，在水面上有一个截面宽 $A B = 1$ ，高 $B C = 0.5$ 的矩形 $A B C D$ 的障碍物，点 $A$ 的坐标为 $(4.5, 0)$ ，判断此时石块沿抛物线 $C_{2}$ 运动时是否能越过障碍物？请说明理由；

(3)、小星在抛掷石块时，若 $C_{1}$ 的顶点需在一个正方形 $M N P Q$ 区域内（包括边界），且点 $F$ 在 $(3, 0)$ 和 $(4, 0)$ 之间（包括这两点），其中 $M (\frac{1}{2}, 1), N (1, 1), Q (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ ，求 $a$ 的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线 $C_{1}$ 在同一平面内）

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20、图 $1$ 是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为 $50$ 米的 $⊙ O$ ，其上的某个座舱可视作 $⊙ O$ 上的点 $A$ ，座舱距离地面的最低高度 $B C$ 为 $10$ 米，地面 $l$ 上的观察点 $D$ 到点 $C$ 的距离 $D C$ 为 $80$ 米，平面示意图如图 $2$ 所示．

(1)、当视线 $D A$ 与 $⊙ O$ 相切时，求点 $A$ 处的座舱到地面的距离；

(2)、已知摩天轮匀速转动一周需要 $30$ 分钟，当座舱距离地面不低于 $85$ 米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点 $A$ 处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据： $tan 36.87 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $sin 66.87 ° \approx 0.92$ ， $cos 66.87 ° \approx 0.39$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $π \approx 3.14$ ）

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销售价格 $x$ （元 $/$ 千克）	50	40
日销售量 $y$ （千克）	100	200