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1、如图，在边长为1的小正方形网格中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在这些小正方形的格点上，则 $t a n ∠ B A C$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、如果 $α$ 是锐角，且 $s i n α = \frac{4}{5}$ ，那么 $s i n (90 ° - α)$ 的值等于（）

A、 $\frac{9}{25}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{16}{25}$

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3、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A C = 1, B C = 2$ ，那么下列锐角三角比中，正确的是（）

A、 $s i n A = \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $t a n A = \frac{1}{2}$ C、 $c o s B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $t a n B = 2$

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4、春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯 $A B$ 与水平面 $B C$ 的夹角为 $40 °$ ，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙 $A C$ 高为10丈，则云梯梯身长 $A B$ 约为（）

A、 $\frac{10}{s i n 40 °}$ 丈 B、 $\frac{10}{c o s 40 °}$ 丈 C、 $10 s i n 40 °$ 丈 D、 $10 c o s 40 °$ 丈

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5、如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线 $O M$ 交于点A ，再以点A为圆心， $A O$ 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线 $O B$ ，则 $t a n ∠ A O B$ 的值为（）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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6、计算 $6 t a n 45 ° - 2 c o s 60 °$ 的结果是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7、若 $c o s 60 ° = \frac{□}{2}$ ，则“□”表示的数是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，则 $\frac{A C}{B C} =$ （）

A、 $t a n A$ B、 $t a n B$ C、 $s i n A$ D、 $c o s B$

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9、 $s i n 30 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10、目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”．

(1)、【初步认识】已知 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点 $I$ 是 $△ A B C$ 的内心．
①请在图1中利用直尺和圆规作出内心 $I$ ，若连接 $A I$ ，并延长交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ，请猜想 $B D$ 与 $I D$ 的数量关系，并说明理由；
②若点 $A$ 是优弧 $\overset{⌢}{B A C}$ 上（不与 $B$ 、 $C$ 重合）的动点， $⊙ O$ 的半径为5， $B C = 8$ ，求 $A I$ 最大值为 ▲ ；

(2)、【深入探究】在题（1）条件下，如图2，如果 $O I ⊥ A D$ ， $I M ⊥ A B$ 于 $M$ ．求证： $B C = 2 A M$ ；

(3)、【灵活运用】如图3，在 $B A C$ 中， $A B = A C$ ，过点 $C$ 作 $C P ⊥ A B$ ，垂足为 $G$ ，且 $C P = A B$ ，点 $E$ 和点 $F$ 分别是 $△ A G C$ 的内心和外心，试判断 $E F$ 与 $P B$ 的数量关系，并说明理由．

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11、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 交 $C A$ 的延长线于点 $E$ ，垂足为点 $F$ ．

(1)、求证： $D E$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $A O = 5, C D = 2 A D$ ，求 $C D$ 的长．

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12、如图， $△ A B C$ 的内切圆 $⊙ O$ 与 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ 分别相切于点D，E，F，且 $A B = 5 c m$ ， $B C = 7 c m$ ， $C A = 6 c m$ ．

(1)、求 $A F$ 的长．

(2)、已知 $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{6} c m^{2}$ ，求 $O D$ 的长．

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13、如图， $⊙ O$ 中， $A B$ 为弦，半径 $O C ⊥ A B$ ，弦 $C D$ 交 $A B$ 于E．

(1)、求证： $△ C A E ∽ △ C D A$ ；

(2)、若 $C E = 2, E D = 5$ ，求 $A C$ 的长．

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14、如图，在坐标系中， $A (1, 6)$ 、 $B (5, 6)$ 、 $C (7, 4)$ ．

(1)、经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；

(2)、这个圆的半径长为；

(3)、直接判断点 $D (5, - 3)$ 与 $⊙ M$ 的位置关系，点 $D (5, - 3)$ 在 $⊙ M$ ．（填内、外、上）

(4)、E是图中某一格点，连接 $B E$ ，若 $B E$ 是 $⊙ M$ 的切线，则E点有个．

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15、

(1)、如图，点B在 $⊙ A$ 上，过点B作 $⊙ A$ 的切线；

(2)、如图，点D在 $⊙ C$ 外，过点D作 $⊙ C$ 的切线．

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16、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 50 °, ∠ A C B = 75 °$ ，点O是 $△ A B C$ 的内心．求 $∠ B O C$ 的度数．

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17、如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，经过点 $A$ 的圆分别与边 $B C ， C D$ 相切于 $E ， F$ 两点．
⑴ $∠ E A F =$ 度；
⑵若 $B E = 2 \sqrt{2}$ ， $D F = 2$ ，则图中阴影部分的面积是．

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18、如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D在 $A B$ 的延长线上， $D C$ 切 $⊙ O$ 于点C，若 $∠ D = α$ ，则 $∠ A$ 的度数为（用含 $α$ 的式子表示）．

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19、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 为切点．若 $A D = 1$ ， $B C = 5$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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20、如图， $A B$ ， $A C$ ， $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点分别是 $P$ ， $C$ ， $D$ ．若 $A B = 8, A C = 5$ ，则 $B D$ 的长是．

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