相关试卷

1、【阅读理解】若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解：因为 $a + b = 3$ ，所以 ${(a + b)}^{2} = 9$ ，即： $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9$ ，又因为 $a b = 1$ ，所以 $a^{2} + b^{2} = 7$
【方法应用】
（1）若 $x + y = 7$ ， $x^{2} + y^{2} = 29$ ，求 $x y$ 的值．
（2）若 $(8 - x) x = 15$ ，则 ${(8 - x)}^{2} + x^{2} =$ ________．
【拓展提升】
（3）在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C + B C = 11$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{23}{2}$ ，求 $A B$ 的长．
（4）如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ⊥ B D$ 于点O，且 $B D - A C = 2$ ， $B D^{2} + A C^{2} = 100$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为_________．

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2、立德朝阳中学的小花，准备假期和父母出去旅游，于是在网上购买了一个行旅拉杆箱，如图 $1$ ，图 $2$ 分别是拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆 $D E$ 、箱长 $B C$ 、拉杆 $A B$ 的长度都相等，即 $D E = B C = A B = 50 cm$ ，点 $B 、 F$ 在线段 $A C$ 上，点 $C$ 在 $D E$ 上，支杆 $D F = 30 cm$ ．

(1)、当 $E$ 与 $C$ 点重合， $C F = 40 cm$ 时， $△ C D F$ 是什么三角形．

(2)、当 $∠ D C F = 45 °, C F = \frac{1}{5} A C$ 时，求 $C D$ 的长．

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3、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A B = 13$ ， $B C = 12$ ， $C D = 3$ ， $A D = 4$ ．

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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4、计算： ${(2 - \sqrt{5})}^{0} + \sqrt{24} - \sqrt{18} \times \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{27}$

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5、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $A B$ 在数轴上，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 的长为半径作弧交数轴的正半轴于 $M$ ．若点 $A$ 在数轴上表示的数为 $- 1$ ，则点 $M$ 表示的数为．

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6、在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = 10$ $c m$ ， $B C = 12$ $c m$ ，则 $B C$ 边上的高是 $c m$ ．

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7、若电影院的5排2号记为 $(2, 5)$ ，则3排5号记为．

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8、下列说法中，不正确的是（）

A、 $- 1$ 的绝对值是 $1$ B、 $0$ 的平方根是 $0$ C、 ${(- 1)}^{0}$ 的算术平方根是1 D、 ${(- 1)}^{- 1}$ 的立方根是1

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9、在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 72 °$ ，点P是线段 $A B$ 上一点（不与A，B重合），连接 $C P$ ．

(1)、若 $∠ C P B = 54 °$ ，则 $△ A C P$ “倍角三角形”（填“是”或“不是”）；

(2)、若 $△ B P C$ 是“倍角三角形”，求 $∠ A C P$ 的度数．

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10、如图， $A B ∥ C D$ ， $A B = C D$ ，点E、F在 $A D$ 上，且 $A F = D E$ ．求证： $∠ B = ∠ C$ ．

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11、如图，点P是 $∠ A O B$ 内任意一点， $O P = 8 cm$ ，点M和点N分别是射线 $O A$ 和射线 $O B$ 上的动点．若 $△ P M N$ 周长的最小值是 $8 cm$ ，求 $∠ A O B$ 的度数．

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12、如图，已知 $Rt △ O A B ， ∠ O A B = 60 ° ， ∠ A O B = 90 ° ， O$ 点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且 $△ A P B$ 是等腰三角形，则点P的坐标最多有（）个．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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13、如图，直线 $y = k x + 4$ 分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为 $(- 8, 0)$ ，点A的坐标为 $(- 6, 0)$ ．

(1)、求k的值；

(2)、若点 $P (x, y)$ 是第二象限内的直线上的一个动点，在点P运动过程中，试写出 $△ O P A$ 的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)、在（2）条件下，探究：当P运动到什么位置时， $△ O P A$ 的面积为4，并说明理由．

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14、 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ ①，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ ②．

(1)、请用不同的方法化简，参照①式得 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ＝；参照②式得 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ＝；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ ．

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15、某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示．

(1)、分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式．

(2)、两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ $(x \leq 100)$

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16、 $△ A B C$ 中， $A B = 15, B C = 14, A C = 13$ ，过A作 $A H ⊥ B C$ ，垂足为H，求 $A H$ 的长．

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17、已知点 $P (2 m + 4, m - 1)$ ，请分别根据下列条件，求出点P的坐标．

(1)、点Q的坐标是 $(2, - 3)$ ， $P Q ∥ y$ 轴；

(2)、点P在第一、三象限的角平分线上．

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18、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B ＝ 90 °, A C ＝ 9, B C ＝ 12, C D ⊥ A B$ 于点D，求 $C D$ 的长．

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19、在平面直角坐标系中，作出 $△ A B C$ ，使各顶点的坐标分别是： $A (1, 2)$ ， $B (- 2, - 2)$ ， $C (3, - 2)$ ，并求出 $△ A B C$ 的面积．

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20、计算
$\frac{2 \sqrt{12} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} + {(1 - \sqrt{3})}^{0}$

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