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1、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 2 α (45 ° < α < 90 °)$ ， $D$ 是 $B C$ 上的动点（不与点 $C$ 重合），且 $B D > D C$ ，连接 $A D$ ，将射线 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α$ 得到射线 $A P$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A D$ 交射线 $A P$ 于点 $E$ ，连接 $B E$ ，在 $B D$ 上取一点 $F$ ，使 $F D = C D$ ，连接 $E F$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、写请用等式表示 $B E$ 、 $E F$ 的数量关系，并证明．

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2、从边长为 $a$ 的正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）

(1)、上述图1到图2的操作能验证的等式是．

(2)、应用所得的公式计算： $202 4^{2} - 2023 \times 2025$ ．

(3)、应用所得的公式计算： $9 \times (10 + 1) (1 0^{2} + 1) (1 0^{4} + 1) (1 0^{8} + 1) (1 0^{16} + 1) - 1 0^{32}$ ．

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3、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (2, 3)$ ， $B (1, 0)$ ， $C (1, 2)$

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、其中 $A_{1}$ 的坐标为；

(3)、如果要使以 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 、 $P$ 为顶点的三角形与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 全等（ $A_{1}$ 与 $P$ 不重合），写出所有符合条件的 $P$ 点坐标．

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4、已知 $\frac{x}{y} = 3$ ，求代数式 $(1 - \frac{y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}) \cdot \frac{x - y}{x}$ 的值．

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5、下面是小亮设计的尺规作图过程：
已知：如图，直线 $M N$ 和直线 $M N$ 外一点 $P$ ．
求作：直线 $M N$ 的平行直线，使它经过点 $P$ ．
作法：①过点 $P$ 作水平直线交直线 $M N$ 于点 $O$ ；
②在射线 $O M$ 上取一点A（ $O A < O P$ ），以点 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径画弧，与射线 $O P$ 交于点 $B$ ；
③以点 $P$ 为圆心， $O A$ 长为半径画弧，交线段 $O P$ 的延长线于点 $C$ ；
④以点 $C$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，两弧在直线 $O P$ 的上方交于点 $D$ ；
⑤作直线 $P D$ ．
所以直线 $P D$ 就是所求作的平行线．
根据小亮设计的尺规作图过程，回答以下问题：

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：
证明：连接 $A B$ ， $C D$ ，
∵ $O A = O B = P C = P D$ ， $A B = C D$ ，
∴ $△ A O B ≌ △ D P C$ ，（依据：）
∴ $∠$ = $∠$ ，
∴ $P D$ $∥$ 直线 $M N$ ．

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6、已知：如图 $△ A B C$ 与 $△ B D E$ 都是等边三角形，点 $E$ 、 $B$ 、 $C$ 在一条直线上，连接 $D C$ 、 $E A$ ．求证： $A E = D C$
在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下：

(1)、请问老师的提示中①是， ②是．

(2)、请根据以上思路写出完整的证明过程．

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7、已知：如图， $△ A B C$ 与 $△ D C B$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ， $A B = D C$ ， $∠ A B C = ∠ D C B$ ．求证： $E B = E C$ ．

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8、计算： $(8 a^{3} b - 4 a b^{2} + 2 a b) \div 2 a b$ ．

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9、计算： $| - 3 | + {(π - 7)}^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 2} - {(- 1)}^{3}$ ．

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10、人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如：多项式 $x^{2} y - 4 y$ ，将其分解因式为 $y (x + 2) (x - 2)$ ．若取 $x = 15$ ， $y = 12$ ，则有 $y = 12$ ， $x + 2 = 17$ ， $x - 2 = 13$ ，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码： $121317$ ．已知多项式 $x^{2} y + x y - 6 y$ ，若生成的六位数密码中含有最小的两位数，写出一组符合条件的 $x$ 、 $y$ 的值．

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11、如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是．

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12、如图，在直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(1, 4)$ 和 $(3, 0)$ ，点 $C$ 是 $y$ 轴上的一个动点，当 $A C + B C$ 有最小值时，点 $C$ 的坐标为．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $B C$ 的垂直平分线交 $A B$ 于 $E$ ，垂足为 $D$ ，若 $E D = 5$ ，则 $C E$ 的长为．

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14、计算： ${(2 a b^{2})}^{3} \cdot {(- a^{2} b c)}^{2} =$ ．

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15、如果分式 $\frac{1}{x + 2}$ 有意义，那么 $x$ 的取值范围是．

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16、如图，点 $M$ 、 $N$ 是 $∠ A O B$ 的 $O A$ 边上的动点（ $O M < O N$ ）， $∠ A O B = 30 °$ ， $M N = 2$ ，若边 $O B$ 上有且只有1个点 $P$ ，满足 $△ P M N$ 是等腰三角形，则 $O M$ 的长度，有以下结论：① $O M = 2$ ；② $O M = 3$ ；③ $O M = 4$ ；④ $O M > 4$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①④ D、①②④

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17、已知 $2 x + 3 y - 1 = 0$ ，则 $4^{x} \cdot 8^{y}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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18、下列各式从左到右变形正确的是（）

A、 $\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a}{b} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$ C、 $\frac{6 a}{8 b} = \frac{3 a}{4 b}$ D、 $- \frac{a}{b} = \frac{- a}{- b}$

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19、下面各式因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} y - x y^{2} + x y = x y (x - y)$ B、 $x^{2} + y^{2} = (x + y) (x - y)$ C、 $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} = (2 x - y)^{2}$ D、 $x^{2} + x - 12 = (x + 3) (x - 4)$

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20、如果等腰三角形有一个角是 $40 °$ ，则它的顶角是（）

A、 $40 °$ B、 $100 °$ C、 $140 °$ D、 $40 °$ 或 $100 °$

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