相关试卷

1、如果两个有理数的绝对值相等，且这两个数在数轴上对应的两点之间的距离为6，那么这两个数分别是（）

A、6和 $- 6$ B、3和 $- 3$ C、0和6 D、0和 $- 6$

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2、下列几何体从正面看、从上面看、从左面看的形状都是长方形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、下列绘制的数轴正确的是(　　 )

A、 B、 C、 D、

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4、如图的图形绕虚线旋转一周，可以得到的几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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5、下列物体中，类似圆锥的是（）

A、茶杯 B、乒乓球 C、橡皮擦 D、圣诞帽

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6、阅读材料：像 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2$ ； $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ ； $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0) \dots$ 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 $\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ ， $\sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $\sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1) ^{2}}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ．
解答下列问题：

(1)、 $2 \sqrt{3} - 5$ 与_____互为有理化因式，将 $\frac{3}{2 \sqrt{5}}$ 分母有理化得_____；

(2)、①比较大小： $\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$ _____ $\sqrt{2023} - \sqrt{2022}$ （填入 $<$ ， $=$ ， $\geq$ 或 $\leq$ 中的一种）；
②计算下列式子的值： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + .. + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2023}} (45^{2} = 2025)$ ；

(3)、已知正整数a，b满足 $\frac{a}{\sqrt{2} - 1} - \frac{b}{\sqrt{2}} = 2 - 3 \sqrt{2}$ ，求a，b的值．

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7、若 $\sqrt{a^{2}} = - a$ ，则实数 $a$ 在数轴上的对应点一定在（）

A、原点左侧 B、原点右侧 C、原点及原点左侧 D、原点及原点右侧

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8、定义：如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．

(1)、下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．
① $x^{2} + x = 6$ ；② $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ ；③ $x^{2} - \frac{1}{49} = 0$ ；④ $x^{2} - 5 x = - 6$ ．

(2)、若方程 $x^{2} + 2 x - k + 1 = 0$ 是“邻根方程”， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两根，求：
①请求出k的值；
②求方程的两个根．

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9、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - k = 0$ 存在两实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，下列说法错误的是（）

A、若 $x_{1} = x_{2}$ ，则 $k = - 4$ B、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $k > - 4$ C、 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 一定异号 D、若 $x_{1} = x_{2} + 2$ ，则 $k = - 3$

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10、综合与实践：
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ，点E为 $△ A B C$ 外一点， $A E ⊥ C E$ ，过B作 $B F ⊥ A E$ ，垂足分别为 $E 、 F$ ．求证： $E F = B F - C E$ ．
独立思考：（1）请证明王老师提出的问题．
实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答．
“如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ，点D是 $B C$ 上一点， $B A = B D ， C E ⊥ A D$ 于E，求证： $A D = 2 C E$ ”．
问题解决：
（3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现：
“如图3， $△ A B C$ 中， $A B = A C,∠ B A C = 90 °$ ，点D为 $B C$ 上一点， $A E ⊥ C E$ ，过点A作 $A M ⊥ A E$ ，且 $A M = A E$ ，连接 $B M$ ．若 $C E = 2$ ，请直接写出 $A G$ 的值为 ▲ ． ”

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11、【阅读】例题：在等腰三角形 $A B C$ 中，若 $∠ A = 80 °$ ，求 $∠ B$ 的度数.
点点同学在思考时是这样分析的： $∠ A$ ， $∠ B$ 都可能是顶角或底角，因此需要进行分类.他认为画“树状图”可以帮我们不重复，不遗漏地分类（如图），据此可求出 $∠ B$ 的度数.
【解答】
由以上思路，可得 $∠ B$ 的度数为__________；
【应用】
将一个边长为5，12，13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法.请你利用备用图画出三种可能的情形，使得拼成的等腰三角形腰长为13.
（注意：请对所拼成图形中的线段长度标注数据）

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 62 °$ ， $C E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线．

(1)、求 $∠ B C E$ 的度数．

(2)、若 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $∠ C D F = 74 °$ ，求证： $△ C F D$ 是直角三角形．

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13、如图，已知 $△ A B C$ 的周长为33， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $A B = \frac{3}{2} A C$ ．

(1)、当 $A C = 10$ 时，求 $B D$ 的长；

(2)、 $A C$ 能否等于12？为什么？

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A = 60 °$ ， $∠ B D C = 95 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $D E ∥ B C$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ．

(2)、求 $△ B D E$ 的各内角的度数．

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15、如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°．求∠BOC的度数．

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16、如图， $∠ D A B = ∠ D A C$ ， $∠ B = ∠ C$ ，求证 $B D = C D$ ．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，若 $∠ B = 50 °$ ， $∠ A C E = 20 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数是．

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18、如图，在锐角三角形 $A B C$ 和锐角三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A D$ ， $A^{'} D^{'}$ 分别是边 $B C$ ， $B^{'} C^{'}$ 上的高，且 $A B = A^{'} B^{'}$ ， $A D = A^{'} D^{'}$ ．要使 $△ A B C ≌ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则可以补充条件（填写一个即可）．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B \neq A C$ ， $A D$ 是斜边 $B C$ 上的高， $D E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A B$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ，则图中与 $∠ C$ （ $∠ C$ 除外）相等的角的个数是（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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20、下列说法正确的是（）

A、全等三角形是指形状相同的两个三角形 B、全等三角形的周长和面积分别相等 C、面积相等的两个三角形是全等三角形 D、所有的等边三角形都是全等三角形

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