相关试卷

1、综合与实践

海口钟楼历史悠久，跨越近百年岁月，是海口市著名的八景之一、为了测量钟楼的高度，某校两个“综合与实践”小组设计了不同的方案，测量方案和数据如下表：

测量钟楼 $A B$ 的高度
	第一小组	第二小组
测量工具	测量角度和长度的仪器	测量角度和长度的仪器及无人机
测量方案示意图
测量方法及测量数据	（1）在钟楼正面 $C$ 点测得钟楼顶端 $B$ 点仰角为 $45 °$ ；（2）在钟楼背面 $D$ 点测得钟楼顶端 $B$ 点的仰角为 $60 °$ ；（3）测得 $C D = 44$ 米．	（1）让无人机上升到点 $D$ 处，测得点 $D$ 距地面的高度为37米，此时测得钟楼顶端 $B$ 点处的俯角为 $30 °$ ；（2）让无人机沿水平方向由点 $D$ 飞行10米到达点 $E$ ，测得钟楼顶端 $B$ 点处俯角为 $60 °$ ．
说明	$A 、 C$ 是地平面，钟楼宽度不计	$A 、 C$ 是地平面，钟楼宽度不计

请你根据以上信息解决下列问题

(1)、填空：图1中，

∠ C B D =

_______度，图.2中，

∠ D B E =

_____度，

B E =

______米；

(2)、请你选择其中的一个方案及其数据求钟楼

A B

的高度．（结果精确到1米）（参考数据：

\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73

）

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2、定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”.如图1在 $Δ A B C$ 中，若 $A B^{2} + A C^{2} - A B \cdot A C = B C^{2}$ ，则 $Δ A B C$ 是“和谐三角形”.

（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是______命题（填“真”或“假”）.
（2）若 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = c$ ， $A C = b$ ， $B C = a$ ，且 $b > a$ ，若 $Δ A B C$ 是“和谐三角形”，求 $a : b : c$ .
（3）如图2，在等边三角形 $A B C$ 的边 $A C$ ， $B C$ 上各取一点 $D$ ， $E$ ，且 $A D < C D$ ， $A E$ ， $B D$ 相交于点 $F$ ， $B G$ 是 $Δ B E F$ 的高，若 $Δ B G F$ 是“和谐三角形”，且 $B G > F G$ .

①求证： $A D = C E$ .
②连结 $C G$ ，若 $∠ G C B = ∠ A B D$ ，那么线段 $A G$ ， $F E$ ， $C D$ 能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由.

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3、如图1，已知直线 $l$ 的同侧有两个点 $A 、 B$ ，在直线 $l$ 上找一点 $P$ ，使 $P$ 点到 $A 、 B$ 两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 $l$ 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 $l$ 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题

(1)、如图2，画出格点 $△ A B C$ （顶点均在格点上）关于直线 $D E$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并在 $D E$ 上画出点 $Q$ ，使 $Q A + Q C$ 最小；

(2)、如图3，在锐角三角形 $A B C$ 中， $A B = 6$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于点 $D ， M 、 N$ 分别是 $A D$ 和 $A B$ 上的动点，则 $B M + M N$ 的最小值为___________．

(3)、如图4， $∠ A O B = 30^{\circ}$ ， $O C = 5$ ， $O D = 12$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是射线 $O A$ ， $O B$ 上的动点，则 $C F + E F + D E$ 的最小值为___________．

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4、如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结CD，DE，已知∠EDB=∠ACD，
（1）求证：△DEC是等腰三角形.
（2）当∠BDC=5∠EDB， BD=2时，求EB的长.

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5、如图，点C为线段BD上一点，△ABC、△CDE都是等边三角形．AD与CE交于点F，BE与AC相交于点G．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若CF+CG=8，BD=18，求△ACD的面积．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E、F分别在 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 边上，且 $B E = C F$ ， $B D = C E$ ．

(1)、求证： $△ D E F$ 是等腰三角形；

(2)、当 $∠ A = 40 °$ 时，求 $∠ D E F$ 的度数．

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7、如图， $A D$ 是 $Δ A B C$ 的高线，且 $B D = \frac{1}{2} A C$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，连结 $B E$ ，取 $B E$ 的中点 $F$ ，连结 $D F$ ，求证： $D F ⊥ B E$ .

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 在 $△ A B C$ 内， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，连结 $C D$ ，把 $△ A D C$ 沿 $C D$ 折叠， $A C$ 落在 $C E$ 处交 $A B$ 于 $F$ ，恰有 $C E ⊥ A B$ ．若 $B C = 10$ ， $A D = 7$ ，则 $∠ C D E$ $=$ $°$ ， $E F =$ ．

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9、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A C = 9$ ，点 $O$ 在 $A C$ 上，且 $A O = 3$ ，点 $P$ 是 $A B$ 上一动点，连接 $O P$ ，将线段 $O P$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到线段 $O D$ ．要使点 $D$ 恰好落在 $B C$ 上，则 $A P$ 的长是．

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10、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $B C = 6$ ， AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若 $C D = 5$ ，则 $A E =$ ．

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11、如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=4， $P B =2 \sqrt{3}$ ， PC=2，以下四个结论：①∠BPC=150°；②∠APC=120°；③ $S_{△ A B C} =14 \sqrt{3}$ ；④点P到△ABC三边的距离分别为PE，PF，PG，则 $P E + P F + P G = \frac{\sqrt{3}}{2} A B$ ，其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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12、如图，一棵高5米的树 $A B$ 被强台风吹斜，与地面 $B C$ 形成 $60 °$ 夹角，之后又被超强台风在点 $D$ 处吹断，点 $A$ 恰好落在 $B C$ 边上的点 $E$ 处，若 $B E = 2$ ，则 $B D$ 的长是（）

A、2 B、3 C、 $\frac{21}{8}$ D、 $\frac{24}{7}$

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13、下列各图中，正确画出 $A C$ 边上的高的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、阅读材料：
为解方程 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0$ ，我们可以将 $(x^{2} - 1)$ 视为一个整体，然后设 $x^{2} - 1 = y$ ，则 ${(x^{2} - 1)}^{2} = y^{2}$ ，原方程化为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ ， ①
解得 $y_{1} = 4$ ， $y_{2} = 1$ ．
当 $y = 4$ 时， $x^{2} - 1 = 4$ ， $∴ x^{2} = 5$ ， $∴ x = \pm \sqrt{5}$ ．
当 $y = 1$ 时， $x^{2} - 1 = 1$ ， $∴ x^{2} = 2$ ， $∴ x = \pm \sqrt{2}$ ．
$∴$ 原方程的解为 $x_{1} = \sqrt{2}$ ， $x_{2} = - \sqrt{2}$ ， $x_{3} = \sqrt{5}$ ， $x_{4} = - \sqrt{5}$ ．
以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解方程：

(1)、 $x^{4} - x^{2} - 6 = 0$ ；

(2)、 ${(x^{2} - 2 x)}^{2} - 5 x^{2} + 10 x - 6 = 0$ ；

(3)、已知实数a满足 ${(a^{2} - a)}^{2} - 3 (a^{2} - a) - 10 = 0$ ，则 $a^{2} - a =$ ______．

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16、若 $y = (a + 1) x^{2} - 2 x - 3$ 是 $y$ 关于 $x$ 的二次函数，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A、 $a \neq - 1$ B、 $a > 0$ C、 $a > - 1$ D、 $a \neq 0$

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17、在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题 $- 1 + 2 - 3 + 4 + \dots - 2017 + 2018$ 的计算思路为：从左往右，依次将相邻两个加数组合在一起作为一组，其和为1，共有1009组，所以结果为 $+ 1009$ ．根据这个思路学生改编了下列几题：

(1)、计算：
① $1 - 2 + 3 - 4 + \dots + 2025 - 2026 =$
② $1 - 3 + 5 - 7 + \dots + 2025 - 2027 =$

(2)、蚂蚁在数轴的原点 $O$ 处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，第2025次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？

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18、给出定义如下：我们称使等式 $a - b = a b + 1$ 的成立的一对有理数 $a, b$ 为“共生有理数对”，记为 $(a, b)$ ．如： $2 - \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} + 1$ ， $5 - \frac{2}{3} = 5 \times \frac{2}{3} + 1$ ，那么数对 $(2, \frac{1}{3})$ ， $(5, \frac{2}{3})$ 都是“共生有理数对”．

(1)、判断下列题目．正确的打“√”，错误的打“×”：
①数对 $(- 2, 1)$ 是“共生有理数对”；（）
②数对 $(3, \frac{1}{2})$ 是“共生有理数对”．（）

(2)、请再写出一对符合条件的“共生有理数对”，并写出理由（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）．

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19、把下列各数填在相应的集合里（注意，数之间用“逗号”隔开）：
5， $- 2$ ， 1.4， $- \frac{2}{3}$ ， $- 0. \dot{1} \dot{4}$ ， 0， $- 3.14159$ ， $- π$ ， 0.1010010001……（每两个1之间逐次增加一个0）．
正有理数集合：{________________________…}；
非负整数集合：{________________________…}；
负分数集合：{________________________…}．

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20、已知下列各有理数： $- 2.5$ ， 0， $|- 3|$ ， $- (- 2)$ ， $\frac{1}{2}$ ， $- 1$ ．

(1)、画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点；

(2)、用“ $<$ ”号把这些数连接起来．

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