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1、如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$ 是边 $AB$ 上的一点.

(1)、请用尺规作图法，在 $△ ABC$ 内，求作 $∠ ADE$ ，使 $∠ ADE =∠ B$ ， $DE$ 交 $AC$ 于 $E$ ； (不要求写作法，保留作图痕迹)

(2)、在（1）的条件下，若 $\frac{AD}{DB} =2$ ，求 $\frac{AE}{EC}$ 的值.

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2、已知 $|a| = 4$ ， $|b| = 2$ ，且 $a < b$ ，那么 $b - a =$ ．

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3、把下列六个数： $- 3.5$ ， $4 \frac{1}{2}$ ， $+ 4$ ， $- 2$ ， $- \frac{1}{2}$ ， $- |- 3|$

(1)、分别在数轴上表示出来；

(2)、用符号“ $<$ ”把它们连接起来．

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4、A为数轴上表示3的点，将点A沿数轴向右平移7个单位到点B，则点B表示的数是．

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5、2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（）

A、 $12.5 \times 10^{10}$ B、 $1.25 \times 10^{11}$ C、 $1.25 \times 10^{12}$ D、 $0.125 \times 10^{12}$

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6、已知关于x二次函数 $y = - 2 x^{2} + b x + c$ 过 $(0, - 2), (4, - 2)$

(1)、填空∶ $b =$ ， $c =$

(2)、当 $0 \leq x \leq m$ 时，该二次函数的最大值与最小值的差为8，求m的范围；

(3)、已知 $M (n, 4), N (n + 1, 4)$ ，若线段 $M N$ 与抛物线有交点，求n的取值范围．

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7、如图，在菱形 $A B C D$ 中，连接对角线 $A C$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上，过点 $E$ 作 $E F ∥ B C$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连结 $D E$ 交 $A C$ 于点 $G$ ．

(1)、若 $D A = D E$ ， $∠ B = 105 °$ ，求 $∠ C D E$ 的度数．

(2)、若 $A C = 15$ ， $A E = 2 B E$ ，求 $G F$ 的长．

(3)、求证∶ $G A^{2} = G F \cdot G C$ ．

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8、已知矩形ABCD的四个顶点在正△EFG的边上，已知正三角形边长为4，记矩形面积为S，边长FA为x，
（1）求S的关于x的函数表达式并写出x的取值范围
（2）求S随x增大而增大时自变量x的取值范围，并求出面积的最值

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9、如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点， $△ A B C$ 是格点三角形（顶点是格点的三角形）．

(1)、在图 1、图2 中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与 $△ A B C$ 相似（但不全等，且图1、2中所画三角形也不全等）．

(2)、若每个小矩形的较短边长为1，设图1和图2面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，相似比为 k，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ _______（横线处填k， $\frac{1}{k}$ 或 $k^{2}$ ）．

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10、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 中的x，y满足下表：
$x$
$\dots$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
$\dots$
$y$
$\dots$
$- 5$
0
3
4
3
$m$
$\dots$

(1)、直接写出m的值；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、当 $y < 3$ 时，直接写出x的取值范围．

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11、如图，矩形护栏 $A B C D$ 中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接 $A C$ 交第一根钢条于点E，连接 $D E$ 并延长交 $A B$ 于点F，若 $A B = 60 cm$ ，则 $A F$ 的长度为 $cm$ ．

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12、如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，直线 $A C$ 和 $D F$ 被 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 所截， $A B = 4, B C = 6, D E = 3$ ，则 $E F$ 的长为

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13、如图， $△ A B C$ 中，点 $P$ 从 $A$ 点出发，沿着折线 $A - B - C$ 的方向移动，直到与 $C$ 点重合停止运动， $D$ 为 $A C$ 中点，设 $P$ 点运动的距离为 $x$ ， $D P$ 的长度为 $y$ ， $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图所示，图象是轴对称图形， $M$ 为图象的最高点，点 $M$ 的坐标为 $(5, 4)$ ，则点 $P$ 在运动过程中， $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是（）

A、9 B、 $\frac{15}{2}$ C、7 D、 $\frac{369}{50}$

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ，将 $△ A B C$ 绕着点 $B$ 逆时针旋转得到 $△ E B D$ ．若点 $C$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $A C$ 上，且 $△ A B C ∽ △ B D C$ ，则 $∠ E B D =$ （）

A、 $70 °$ B、 $72 °$ C、 $66 °$ D、 $75 °$

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15、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（）

A、 $b < 0$ B、 $b^{2} - 4 a c > 0$ C、 $2 a - b < 0$ D、 $a + b + c < 0$

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16、如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度 $A B = 8 m$ ，然后用一根长为 $2.4 m$ 的小竹竿 $C D$ 竖直地接触地面和门的内壁，并测得 $A C = 2 m$ ，则门高 $O E$ 为（）

A、 $4 m$ B、 $3.2 m$ C、 $3.5 m$ D、 $3.3 m$

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17、如图，在 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中， $∠ B = ∠ D$ ，添加下列一个条件不能使 $△ A B C ∽ △ A D E$ 的是（）

A、 $∠ B A D = ∠ C A E$ B、 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D E}$ C、 $∠ C = ∠ E$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A C}$

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18、如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为边 $B C$ 的上一动点，作 $A F ⊥ D E$ 交 $D E$ 、 $D C$ 分别于 $P$ 、 $F$ 点，连 $P C$ ．

(1)、若点 $E$ 为 $B C$ 的中点，求证： $F$ 点为 $D C$ 的中点；

(2)、若点 $E$ 为 $B C$ 的中点， $P E = 9$ ，求 $P F$ 的长；

(3)、若正方形边长为 $2 a$ ，求 $P C$ 的最小值．

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19、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $B C$ ， $A C$ ， $O D ⊥ B C$ 于 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ．

(1)、求证： $O D ∥ A C$ ；

(2)、若 $B C = 4 \sqrt{3}$ ， $D E = 2$ ，求
① $⊙ O$ 的半径
②弓形 $B D C$ 的面积（图中阴影部分）

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20、已知：如图， $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， D、E分别是 $A B$ ， $B C$ 上的点， $A D = B E$ ， $∠ C D E = ∠ A$ ．

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ B D E$

(2)、求证： $C D^{2} = C E \cdot C B$

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$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$- 5$	0	3	4	3	$m$	$\dots$