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1、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ (a≠0)的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x=1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞3．其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，那么这个三角形的外接圆直径是（）

A、5 B、10 C、5或4 D、10或8

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3、 $⊙ O$ 的半径为5，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为5，点 $P$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点 $P$ 在 $⊙ O$ 内 B、点 $P$ 在 $⊙ O$ 外 C、点 $P$ 在 $⊙ O$ 上 D、无法确定

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4、把抛物线 $y = x^{2}$ 的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ B、 $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ C、 $y = {(x + 1)}^{2} - 3$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$

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5、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 的顶点坐标为（）

A、 $(1, - 2)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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6、已知 $△ A C B$ 和 $△ E C D$ 都是等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ E C D = 90 °$ ．

(1)、【发现问题】
如图1，若 $D$ 为 $△ A C B$ 内部一点， $A E$ 与 $B D$ 的数量关系是；

(2)、【探索证明】
如图2，若 $D$ 为 $A B$ 边上一点， $A D = 5$ ， $B D = 12$ ，求 $D E$ 长．

(3)、【学以致用】
运用（1）（2）解答中所积累经验和知识，完成下题：如图3，已知 $∠ B C E = 90 °$ ， $A C = A B$ ， $C B = C E$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $A B = A C = 1$ ，求 $A E$ 的长．

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7、【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 $c^{2}$ ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 $\frac{1}{2} a b \times 4 + (b - a)^{2}$ ，从而得到等式 $c^{2} = \frac{1}{2} a b \times 4 + {(b - a)}^{2}$ ，化简便得结论 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．

(1)、【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的 $a$ ， $b$ ， $c$ 用两种方法表示出梯形 $A B C D$ 的面积，说明勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ；

(2)、【方法迁移】如图3，每个小方格的边长为1，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别在格点上，连接点 $A$ ， $B$ ， $C$ 可得 $△ A B C$ ，求边 $A B$ 上的高；

(3)、【方法拓展】如图4，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $A B = 4$ ， $A C = 5$ ， $B C = 6$ ，设 $B D = x$ ，求 $x$ 的值．

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8、如图，已知 $R t △ A B C$ ，两直角边 $A C = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $D$ 为 $B C$ 上一点，现将 $R t △ A B C$ 沿 $A D$ 折叠，使点 $C$ 落在斜边 $A B$ 上的点 $E$ 处，

(1)、求 $B E$ 的长；

(2)、求 $C D$ 的长．

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9、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．

(1)、作出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标， $B_{1}$ （，）；

(2)、 $△ A B C$ 的面积为；

(3)、在x轴上画点 $P$ ，使 $P A + P C$ 最小．

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10、先化简，后求值： $(a + \sqrt{5}) (a - \sqrt{5}) - a (a - 2)$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$ ．

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11、计算：

(1)、 $6 {(x + 1)}^{2} - 18 = 0$ ；

(2)、 $\sqrt{8} - 3 \sqrt{\frac{1}{2}} + | 1 - \sqrt{2} |$ ；

(3)、 ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} + (\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} - 2)$ ；

(4)、 $- 1^{3} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} - \sqrt[3]{27} + | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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12、一个圆柱底面周长为 $16 c m$ ，高为 $6 c m$ ，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为 $c m$ ．

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13、如图，实数 $\sqrt{2}$ 在数轴上的对应点可能是点．

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14、实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简 $a + | a + b | - \sqrt{c^{2}}$ 等于（）

A、0 B、 $a + b$ C、 $c - b$ D、 $2 a - c$

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15、将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为 $320 c m$ ，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位： $c m$ ）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（）

A、 $170 c m$ B、 $160 c m$ C、 $230 c m$ D、 $200 c m$

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16、下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是( )

A、1，2，3 B、10，15，20 C、 $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}, 2, \sqrt{5}$

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17、【问题背景】
如图1，已知正方形 $A B C D$ 的边长为3，点E是边 $A B$ 上的一点，把 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 对折后，点A落在点F处．

(1)、【问题探究】
如图2，当 $A E = 1$ 时，正方形的对角线 $A C$ 与 $D E$ 相交于点M ，与正方形另一条对角线 $B D$ 相交于点O ，连接 $O F$ 并延长，交线段 $A B$ 于点G ．
①求 $\frac{A M}{M C}$ 的值，并说明点M是 $O A$ 的中点；
②试探究 $O G$ 与 $D E$ 有怎样的位置关系，并说明理由．

(2)、【拓展延伸】
如图3，点H是线段 $D F$ 上的一点，且 $D H = 1$ ，连接 $B F$ 、 $C H$ ．在点E从点A运动到点B的过程中，求 $B F + C H$ 的最小值．

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18、【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形 $A B C D$ 的面积为2，则这个格点正方形的边长为 $\sqrt{2}$ ．
【问题解决】

(1)、图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形 $E F G H$ 的边 $E H =$ ．

(2)、在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为 $\sqrt{8}$ 的格点正方形．

(3)、若 $a$ 是 $\sqrt{8}$ 的整数部分， $b$ 是 $\sqrt{8}$ 的小数部分，求 ${(a - b)}^{- 2}$ 的值．

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19、已知 $3 a - 2$ 的平方根为 $\pm 4$ ， $3 a - 2 b - 2$ 的立方根为2．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $2 a + b$ 的平方根及 $8 a + 4 b$ 的立方根．

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20、某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到 $15 m (A B = C D = 15 m)$ ，消防车高 $3 m (O E = 3 m)$ ．救人时云梯伸长至最长，在完成从 $12 m (B E = 12 m)$ 高的B处救人后，还要从 $15 m (D E = 15 m)$ 高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离 $A C$ ．

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