相关试卷

1、在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $a \neq 0$ ）．

(1)、若 $a = 2$ ，函数图象经过点 $(0, - 3)$ 和 $(4, 5)$ ，求函数的表达式；

(2)、若 $a < 0, b = 2 a, A (1, y_{1})$ 和 $B (m, y_{2})$ 在二次函数图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，求m的取值范围；

(3)、若函数图象经过点 $(3, n)$ ，当 $x \leq 2$ 时， $y \geq n + 1$ ；当 $x > 2$ 时， $y \geq n$ ，求a的值．

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2、【问题提出】“黄金分割点”：如图1，点P将线段 $A B$ 分成两部分 $(A P > B P)$ ，若 $\frac{B P}{A P} = \frac{A P}{A B}$ ，则称点P为线段 $A B$ 的黄金分割点，这个比值称为黄金比，比值为 $\frac{\sqrt{5} -1}{2}$ ．
【初步感知】（1）①如图1，若 $A B = 1$ ，求线段 $P B$ 的长；
②如图2， $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 边上一点， $A D$ 将 $△ A B C$ 分割成两个三角形 $(S_{△ A B D} > S_{△ A C D})$ ，若 $\frac{S_{△ A C D}}{S_{△ A B D}} = \frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A B C}}$ ，则称 $A D$ 为 $△ A B C$ 的黄金分割线．求证：点D是线段 $B C$ 的黄金分割点；
【类比探究】（2）如图2，若 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ，求证： $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线．

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3、某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽 $O A = 3.5$ 米，河道坝高 $A E = 5$ 米，当水柱离喷水口 $O$ 处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以 $O$ 为原点，直线 $O A$ 为 $x$ 轴，垂直于路面 $O A$ 方向为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．

(1)、求水柱所在抛物线的函数表达式；

(2)、出于安全考虑，在河道的坝边 $A$ 处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由．

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4、如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ，作一圆过点A和点B，交 $B C$ 于D点，交 $A C$ 于E点，且 $B D = D E$ ．

(1)、求证： $A B$ 是该圆的直径；

(2)、若E是 $A C$ 的中点， $A B = 10$ ，求 $\overset{⌢}{B D}$ 的长度．

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5、（1）已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ，求 $\frac{4 a - 3 b}{a}$ ；
（2）已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，求证： $\frac{a}{b} = \frac{a - c}{b - d} (b - d \neq 0)$ ．

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6、已知函数y＝x²＋bx－1的图象经过点(3，2)．
(1)求这个函数的表达式.
(2)求图象的顶点坐标.

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7、定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．如图，四边形 $A B C D$ 是圆美四边形，其中 $∠ B A D$ 为美角，则：
（1） $∠ B A D =$ 度；
（2）若 $B C$ 为 $⊙ O$ 的内接正十二边形的一边， $C D = 5 \sqrt{2} cm$ ，则 $B D =$ $cm$ ．

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8、四位同学在研究函数 $y = x^{2} + m x + n$ （m，n是常数）时，甲发现函数的最小值为4；乙发现当 $x = 3$ 时； $y = 5$ ；丙发现当 $x = 2$ 时，函数有最小值；丁发现 $- 2$ 是方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是．

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9、如图，在扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ，正方形 $C D E F$ 的顶点C是弧 $A B$ 的中点，点D在 $O B$ 上，点E在 $O B$ 的延长线上，当正方形 $C D E F$ 的边长为4时，阴影部分的面积为．

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10、已知线段 $a = 4 cm$ ， $b = 9 cm$ ，则线段a，b的比例中项为 $cm$ ．

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11、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C 、 D$ 都在 $⊙ O$ 上， $A D // O C$ ，若 $C D = 4 \sqrt{5}, A C = 2 \sqrt{5}$ ，则 $⊙ O$ 的半径（）

A、10 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、5

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12、二次函数 $y = - 2 x^{2} + b x + c = - 2 (x - x_{1}) (x - x_{2})$ （b，c， $x_{1}, x_{2}$ 为常数），若 $x_{1} < 3 < x_{2}$ ，记 $t = 3 b + c$ ，则（）

A、 $t < 18$ B、 $t > 18$ C、 $t < 9$ D、 $t > 9$

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13、把二次函数 $y = - x^{2}$ 的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（）

A、 $y = - {(x - 1)}^{2} + 2$ B、 $y = - {(x + 1)}^{2} + 2$ C、 $y = - {(x - 1)}^{2} - 2$ D、 $y = - {(x + 1)}^{2} - 2$

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14、如图，已知 $△ A C P ∽ △ A B C$ ，以下结论中不正确的是（）

A、 $∠ A C P = ∠ B$ B、 $∠ A P C = ∠ A C B$ C、 $A C^{2} = A P \cdot A B$ D、 $\frac{A C}{C P} = \frac{A B}{B P}$

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15、如图，点A，B，C都在 $⊙ O$ 上，若 $∠ O = 40 °$ ，则 $∠ C =$ （）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $80 °$

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16、抛物线 $y = 4 x^{2} - 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(0, - 3)$ C、 $(- 3, 0)$ D、 $(4, 3)$

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17、已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径 $O A = 12$ ，水的最大深度 $C D$ 为 $6 cm$ ．

(1)、求水面宽 $A B$ 的长；

(2)、求阴影部分面积．

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18、下列事件中，必然事件是（）

A、 $a$ 是实数， $|a| \geq 0$ B、太阳从西边升起 C、某运动员跳高的最好成绩是200米 D、掷一枚硬币，正面朝上

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19、多项式 $x y^{2} + 6 x y - 9$ 的次数和常数项分别是（　　）

A、3和 $- 9$ B、2和 $- 9$ C、3和9 D、2和9

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20、综合与实践
【问题情境】
如图1，有两张等腰三角形纸片 $A B C$ 和 $A E F$ ，其中 $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C + ∠ E A F = 180 °$ ， $△ A E F$ 绕着 $A$ 顺时针旋转，旋转角为 $α$ （ $0 ° \leq α < 180 °$ ），点 $M$ 为 $B F$ 的中点．
【特例感知】

(1)、如图 $1$ ，当 $α = 0 °$ 时， $A M$ 和 $C E$ 的数量关系是；

(2)、如图 $2$ ，当 $α = 90 °$ 时，连接 $A M$ ， $C E$ ，请判断 $A M$ 和 $C E$ 的数量关系，并说明理由；
【深入探究】

(3)、如图 $3$ ，当 $α$ 为任意锐角时，连接 $A M$ ， $C E$ ，则（ $2$ ）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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