相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的两边 $A B$ 、 $A C (A B < A C)$ 的长是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ 的两个实数根，第三边长为5．

(1)、试说明：方程必有两个不相等的实数根；

(2)、当k为何值时， $△ A B C$ 是等腰三角形，求 $△ A B C$ 的周长．

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2、解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 5$ ；

(2)、 $2 x^{2} + x - 2 = 0$ ．

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3、计算：

(1)、 $\sqrt{6} \times \sqrt{3} - \sqrt{8} + \sqrt{10} \div \sqrt{5}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} + 3) (\sqrt{5} - 3) - {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ ．

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4、【规律探究题】观察下列运算：
①由 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，得 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ ；
②由 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，得 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
利用发现的规律计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2019}} =$ ．

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5、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3, - 1)$ ， $B (0, 3)$ 两点．则关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c - k x - m \leq 0$ 的解集是．

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6、已知二次函数 $y = k x^{2} - 3 x + 2$ 的图像和x轴有交点，则k的取值范围是．

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7、我们定义一种新函数：形如 $y ＝ |a x^{2} + b x + c| (a \neq 0 ， b^{2} - 4 a c > 0)$ 的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数 $G ： y = |x^{2} - x - 6|$ 的图象（如图所示），并写出了下列结论：
$①$ 图象与坐标轴的交点为 $A (- 2, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 6)$ ；
$②$ 当 $x = \frac{1}{2}$ 时，函数取得最大值；
$③$ 当 $- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 或 $x \geq 3$ 时，函数值y随x值的增大而增大；
$④$ 若 $(x_{0}, y_{0})$ 在函数图象上，则 $(1 - x_{0}, y_{0})$ 也在函数图象上；
$⑤$ 当直线 $y = - x + m$ 与函数G的图象有2个交点时，则m的取值范围是 $- 2 < m < 3$ ．
其中正确的结论有（　　）

A、 $① ③ ④$ B、 $② ③ ⑤$ C、 $① ② ⑤$ D、 $① ② ③$

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8、一元二次方程 $a {(x + h)}^{2} + k = 0$ 的两根分别为 $- 5$ ， 1，则方程 $a {(2 x + h - 3)}^{2} + k = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为（）

A、 $x_{1} = - 6$ ， $x_{2} = - 2$ B、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ C、 $x_{1} = - 9$ ， $x_{2} = - 1$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2$

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9、若二次函数y=（x-m）²-1，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）

A、m=2 B、m＞2 C、m≥2 D、m≤2

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10、已知点 $(- 2, y_{1}), (3, y_{2}), (7, y_{3})$ 都在二次函数 $y = - {(x - 2)}^{2} + c$ 的图象上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（　　）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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11、一次函数 $y = a x + c$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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12、在长为 $30 m$ ，宽为 $20 m$ 的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为 $520 m^{2}$ ，求道路的宽度设道路的宽度为 $x （ m ）$ ，则可列方程（　　）

A、 $(30 - 2 x) (20 - x) = 520$ B、 $(20 - 2 x) (30 - x) = 520$ C、 $30 \times 20 - 2 \times 30 x - 20 x = 520$ D、 $(30 - x) (20 - x) = 520$

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13、先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y²＋4y＋8的最小值．
解：y²＋4y＋8＝y²＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4
∵（y＋2）²≥0，
∴（y＋2）²＋4≥4
∴y²＋4y＋8的最小值是4．
（1）求代数式x²＋2x＋4的最小值；
（2）求代数式4－x²＋2x的最大值；
（3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

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14、已知关于x的方程 $x^{2} - (m + 2) x + m + 1 = 0$ ．

(1)、求证：不论m为何值，该方程总有实数根；

(2)、如果该方程有一个根小于1，求m的取值范围．

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15、设二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a， b，c是实数，且 $a \neq 0$ ）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x
...
$- 1$
0
1
2
3

y
..
$- 8$
$- 3$
0
1
0

(1)、求二次函数的表达式．

(2)、若点 $M (m, n)$ 是抛物线上一点，且 $0 \leq m \leq 4$ ，求 n的取值范围．

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16、若 $x_{1}$ 是方程 $a x^{2} + 2 x + c = 0 (a \neq 0)$ 的一个根，设 $M = {(a x_{1} + 1)}^{2}, N = 2 - a c$ ，则M与N的大小关系为MN．（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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17、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} > 4 a c$ ；③ $a - b + c < 0$ ；④ $a + c > 1$ ；正确的个数是（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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18、如图，在一块长 $30 m$ ，宽 $20 m$ 的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为 $468 m^{2}$ ．设道路的宽为 $x m$ ，可列方程是（）

A、 $(30 - x) (20 - 2 x) = 468$ B、 $20 \times 30 - 30 x - 2 \times 20 x + 2 x^{2} = 468$ C、 $(30 - 2 x) (20 - x) = 468$ D、 $20 \times 30 - 30 x - 20 x = 468$

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19、若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 1) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、 $- 6$ B、 $- 5$ C、 $- 1$ D、0

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20、若一元二次方程 $a (x - 2) (x + 4) = P$ （ $a < 0$ ， P为常数，且 $P > 0$ ）有两个不相等的整数根，这样的P有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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x	...	$- 1$	0	1	2	3
y	..	$- 8$	$- 3$	0	1	0