相关试卷

1、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA=2∠DCA，点E在AC边上，∠EDC=∠ABC.若BC= $5 \sqrt{5}$ ， CD=10，AD=2AE，则AC的长为.

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2、如图，半圆O的直径AB=5，AC，AD为弦.若AC=3，AD平分∠BAC，则AD=.

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3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则 $\frac{A D}{B E}$ 的值为( ）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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4、如图，在矩形ABCD中，M为边BC的中点，N为边AB上一点，连结DM，DN.若DM平分∠CDN，且AN=3，BN=1，则DN的长为（）

A、4 B、 $3 \sqrt{2}$ C、5 D、 $3 \sqrt{3}$

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5、如图，AD是△ABC的角平分线，BE平分∠ABC交AD于点E，BF是△ABC的外角平分线，交AD的延长线于点F，且BF∥AC，连结CF.下列结论错误的是（）

A、∠EBF=90° B、∠BCF=∠BFC C、若CF∥AB，则AE=BD D、若AF⊥BC，则CF=BC

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6、如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，则EF的长是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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7、我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.
例如：已知x可取任意实数，试求二次三项式 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值.
解： $x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + 2 x + 1 + 2 = (x + {1)}^{2} + 2 .$
∵无论x取何实数，都有 ${(x + 1)}^{2} \geq 0,$
$∴ {(x + 1)}^{2} + 2 \geq 2,$
即 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值为2.
试利用配方法解决下列问题：

(1)、 $x^{2} - 6 x + 12$ 的最小值为；

(2)、比较代数式 $3 x^{2} - x + 2$ 与 $2 x^{2} + 3 x - 6$ 的大小，并说明理由；

(3)、如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD.若AC+BD=10，求四边形ABCD面积的最大值.

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8、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上的点，且AE=CF，连结BE，BF，EF，G是BE的中点，连结AG并延长，交BF于点K.

(1)、∠AKB=°；

(2)、连结CK，当线段CK取得最小值时， $\frac{C F}{C D}$ 的值为.

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9、小明在求代数式 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(x - 4)}^{2} + 4}$ 的最小值时，采用如下方法：如图，在平面直角坐标系中，设M（x，0）为x轴上的一个动点，选取点A（0，1）和B（4，2），根据两点之间的距离公式，得 $A M = \sqrt{x^{2} + 1}, B M = \sqrt{{(x - 4)}^{2} + 4},$ 通过构造，将求代数式的最小值转化为求AM+BM的最小值.由此小明求出 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(x - 4)}^{2} + 4}$ 的最小值为

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10、老师布置的作业中有这样一道题：
如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC=3，AD=4，则AB的长不可能是（    ）
A. 5          B. 7          C. 8          D. 9
甲同学认为AB，AC，AD这三条线段不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决；丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需取AB的中点构造三角形的中位线，就可以解决.关于三位同学的思考过程，你认为正确的是（    ）

A、甲 B、乙 C、丙 D、乙和丙

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11、【知识呈现】
转化思想是数学常用的思想方法之一，在解决一些陌生问题的时候，可以构造辅助线，将陌生问题转化为熟悉问题来解决.

(1)、如图①，C是线段AB上一点（AC>BC），AB=16，∠A=∠DCE=∠ABE=120°，CD=CE=14.
①求证：△ACD≌△BEC；
②求tanD的值.

(2)、【小试牛刀】
如图②，在等边三角形ABC中，M，N分别是边AC，AB上的点，将△AMN沿MN翻折，使点A的对应点落在BC边上的点D处.若CD=2，BD=5，求AN的长.

(3)、【拓展应用】
如图③，在△ABC中，AB=AC， $∠ A B C = ∠ C = α (4 5^{\circ} < α < 9 0^{\circ})$ ， D是BC边的中点，E为AC边上任意一点，将射线DE绕着点D逆时针旋转α，得到射线DG，过点E作EF⊥DE，交射线DG于点F，连结FB.若FB=FD，求 $\frac{C E}{A E}$ 的值.（用含α的式子表示）

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12、在学习锐角三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的正切值之间具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究.

(1)、初步尝试：
我们知道： $t a n 6 0^{\circ} =$ ， $t a n 3 0^{\circ} =$ ；
发现结论：tanA2tan $\frac{A}{2}$ （（填“=”或“≠”）.

(2)、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求 $t a n \frac{∠ B A C}{2}$ 的值.
研究思路：小明想构造包含 $\frac{1}{2} ∠ B A C$ 的直角三角形，延长CA至点D，使得DA=AB，连结BD，得到 $∠ D = \frac{1}{2} ∠ B A C,$ 即转化为求∠D的正切值，那么 $t a n \frac{∠ B A C}{2} =$ .

(3)、在△ABC中，∠A为锐角， $t a n A = \frac{1}{3},$ ∠B=2∠A，AB= $3 \sqrt{10}$ ，求S_△ABC的值.

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13、如图，D是以AB为直径的半圆O的中点， $\hat{C D} = 2 \hat{C B}$ ， E是直径AB上一个动点.已知AB=2cm，则图中阴影部分周长的最小值是cm.

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14、在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想.比如在求 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots$ 的值时，“…”代表按此规律不断求和.我们可设 $x = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots,$ 则有 $x = 1 + \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots),$ 即 $x = 1 + \frac{1}{2} x,$ 解得x=2，故 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots = 2 .$
类似地，请你计算： $1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{4}} + \frac{1}{3^{6}} + \frac{1}{3^{8}} + \dots =$ .（直接填计算结果即可）

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15、如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，点D在边AB上，连结OD.

(1)、如图①，若OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，求证：OE=OD；

(2)、如图②，已知∠BAC=90°，AB=4，AD=1.若点F在边AC上，OF=OD，求AF的长.

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16、两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC=90°，AB=40m，BC=30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC的中点）.机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v₁（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v₂（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP'的长）为d₁（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ'的长）为d₂（m）.当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 $d_{1} = 7.5 m . d_{2}$ 与t的部分对应数值如下表 $(t_{1} < t_{2}) :$
t（min）
0
t₁
t₂
5.5
d₂（m）
0
16
16
0

(1)、机器人乙运动的路线长为m；

(2)、求 $t_{2} - t_{1}$ 的值；

(3)、当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即 $d_{1} = d_{2}$ ）时，求t的值.

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17、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P为抛物线 $y = - a x^{2} - 2 a x + 3 a （ a ＞ 0 ）$ 上任意一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N.设点P的横坐标为t，若抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则t的取值范围为

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18、若函数图象上存在点P（a，b）满足a+b=m（a>0，且m为常数），则称点P为这个函数的“m优和点”.例如：函数图象上存在点P（t，1-t），因为t+1-t=1，所以我们称点P为这个函数的“1优和点”.若二次函数 $y = x^{2} + (k - 3) x + 5$ 的“k优和点”有且仅有一个，则k的取值范围为.

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19、如图，在矩形纸片ABCD中，沿着过点A的直线折叠纸片并展开，AB的对应边为AB'，折痕与边BC交于点P.当AB'与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数是.

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20、如图，在△ABC中，AB=6，CA=4，D为AC的中点，点E在AB上，当AE为时，△ABC与以点A，D，E为顶点的三角形相似.

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t（min）	0	t₁	t₂	5.5
d₂（m）	0	16	16	0