相关试卷

1、在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：
【提出问题】三个有理数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a b c > 0$ ，求 $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c}$ 的值．
【解决问题】
解：由题意，得 $a$ ， $b$ ， $c$ 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
$①$ 当 $a$ ， $b$ ， $c$ 都是正数，即 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ 时，则 $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c} = \frac{a}{a} + \frac{b}{b} + \frac{c}{c} = 1 + 1 + 1 = 3$ ；
$②$ 当 $a$ ， $b$ ， $c$ 中有一个为正数，另两个为负数时，设 $a > 0$ ， $b < 0$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c} = \frac{a}{a} + \frac{- b}{b} + \frac{- c}{c} = 1 - 1 - 1 = - 1$ ．所以 $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c}$ 的值为 $3$ 或 $- 1$ ．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：

(1)、已知 $| a | = 2$ ， $| b | = 1$ ，且 $a < b$ ，求 $a + b$ 的值．

(2)、三个有理数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a b c < 0$ ，求 $\frac{| a b |}{a b} + \frac{| b c |}{b c} + \frac{| a c |}{a c} + \frac{| a b c |}{a b c}$ 的值．

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2、阅读下列材料，完成下面任务：
巧用乘法分配律计算
周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题：
计算： $\frac{1}{12} \div (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{5}{12})$ ，该杂志上的解法有如下两种方法：
方法1：原式 $= \frac{1}{12} \div (\frac{4}{12} - \frac{3}{12} - \frac{5}{12}) = - \frac{1}{12} \times \frac{12}{4} = - \frac{1}{4}$ ；
方法2：原式的倒数 $= (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{5}{12}) \div \frac{1}{12} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{5}{12}) \times 12 = 4 - 3 - 5 = - 4$ ，所以原式 $= - \frac{1}{4}$ ．
任务：

(1)、材料中的方法1是先求括号内的运算，再求括号外的运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）；

(2)、小明联想到材料的方法，给出了如下解法．
答案解：原式 $= \frac{1}{12} \div \frac{1}{3} - \frac{1}{12} \div \frac{1}{4} - \frac{1}{12} \div \frac{5}{12}$ ①
$= \frac{1}{12} \times 3 - \frac{1}{12} \times 4 - \frac{1}{12} \times \frac{12}{5}$ ②
$= \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$ ③
$= \frac{15 - 20 - 12}{60}$ ④
$= - \frac{17}{60}$ ． ⑤
显然小明的解法是错误的，从第步开始出现错误（填序号）；

(3)、根据材料中的方法2计算： $(- \frac{1}{15}) \div (\frac{2}{3} - \frac{4}{5} + \frac{1}{15})$ ．

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3、某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从 $A$ 地出发到收工时，记录如下（单位： $k m$ ）： $- 2$ ， $+ 5$ ， $- 1$ ， $+ 10$ ， $- 3$ ， $- 2$ ， $+ 1$ ， $- 6$ ．

(1)、收工时，小队在 $A$ 地的什么方向？距离A地多远？

(2)、若小队从 $A$ 地出发，检修结束后直接回到 $A$ 地，求该小队当天行走的总路程．

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4、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．

(1)、直接写出 $a + b, c d, m$ 的值；

(2)、求 $m + c d + \frac{a + b}{m^{2}}$ 的值．

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5、画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“ $<$ ”连接下列各数．
$|- \frac{1}{2}|$ ， $- 1 \frac{1}{2}$ ， $- (- 2.5)$ ， $0$ ， $- (+ 3)$ ．

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6、计算：

(1)、利用适当的方法计算： $8 + 5 \times (- 2) - (- 6) \div 3$ ．

(2)、 $\frac{7}{13} \times (- 9) + |- \frac{7}{13}| \times (- 17)$ ．

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7、已知酒精凝固的温度是 $- 117 ℃$ ，现有一杯酒精的温度为 $19 ℃$ ，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低 $1.6 ℃$ ，要使这杯酒精的温度降至凝固点，至少需要分钟．

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8、如图，数轴上的点 $A$ ， $B$ 对应有理数 $a$ ， $b$ ，有以下四个结论： $①$ $a < b$ ； $②$ $- a < b$ ； $③$ $a > b$ ； $④$ $a > - b$ ，其中正确的是.（填写序号）

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9、某零件的直径要求是 $(30 \pm 0.3) m m$ ，经检测，一个零件直径为 $29.8 m m$ ，说明这个零件是(填合格或不合格产品)．

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10、化简 $- [- (- 2)] =$ ．

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11、数轴上到点 $3$ 的距离等于 $5$ 的点表示的有理数是．

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12、比较大小： $- \frac{4}{3}$ $- \frac{5}{4}$ （填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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13、若 $a < 0$ ，且 $| a | = 2$ ，则a的值为．

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14、在数轴上， $a$ 在 $b$ 的左边，则（）

A、 $a < 0$ B、 $b > 0$ C、 $a b < 0$ D、 $b - a > 0$

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15、下列说法正确的是（）

A、所有的有理数都能用数轴上的点表示 B、符号不同的两个数互为相反数 C、有理数分为正数和负数 D、倒数等于本身的数是1、0、 $- 1$

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16、若 $(- 2) \times □$ 的运算结果为正数，则 $□$ 内的数可以为（）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

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17、已知 $p$ 与 $q$ 互为倒数，且 $p \neq 0$ ，那么下列关系式正确的是（）

A、 $p - q = 0$ B、 $p + q = 0$ C、 $\frac{q}{p} = 1$ D、 $p \cdot q = 1$

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18、 $- 5$ 的相反数的绝对值是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $5$ D、 $- 5$

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19、在 $- \frac{1}{4}$ 、 $0.628 、 - 3.1415 、 160 、 - 28$ 、 $\frac{9}{5}$ 、 $- 0.017001700017 \dots$ 、0、 $0 . \dot{5}$ 、 $- \frac{2 π}{7}$ 中，有理数的个数是（）

A、8个 B、9个 C、10个 D、7个

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20、春节期间走亲访友相互拜年是传统习俗，长辈们都很关心同学们的学习情况，如果将小明同学期末数学成绩110分记为“ $+ 10$ 分”，小丽的成绩记作“ $- 3$ 分”，则小丽本次期末数学测试的成绩为（）

A、103分 B、107分 C、97分 D、117分

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