相关试卷

1、在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AC上.一个动点，连接BP，过点P作PQ⊥PB，PQ交射线DC于点Q．

(1)、【观察发现】
如图1，若点P在线段AO上，点Q在线段DC上，直接写出线段 PB 与线段PQ 的数量关系：；

(2)、【类比迁移】
①如图2，若点P在线段OC上，点Q在DC延长线上，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②如图3，在(2)①的条件下，连接BQ并延长交AC 延长线于点 E，请猜想线段AP，EP， CE的等量关系并证明；

(3)、【拓展探究】
如图4，若AC=5，取BQ的中点 F，则当点 P 从点A 运动到点C时，点F所经过的路径长为．

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2、根据以下素材，探索完成任务：

背景	第二届世界人形机器人运动会将于2026年8月22日至26日在北京举办，吸引众多队伍与科创企业参与．
素材1	与上届相比，本次运动会赛项更为丰富，新增了机器人拔河项目，该项目采用单循环赛制，每两支参赛队伍之间均比赛一次，最终通过积分、得失分率等指标确定名次，本次机器人拔河项目一共进行了55场比赛．
素材2	某品牌机器人8月份销售额为200万元，受赛事带动，该品牌机器人销售额连续两个月稳步增长，10月份销售额达到242万元．
素材3	该品牌机器人每台生产成本为6000元，定价为8000元时，平均每天能售出10台；售价每降低80元，平均每天就能多售出2台．为提高利润，某商家计划开展打折促销活动．
问题解决
任务1	根据素材1，求拔河项目共有多少支参赛队伍；
任务2	根据素材2，求该品牌机器人销售额的月平均增长率；
任务3	根据素材3，若想使该品牌机器人的利润最高，商家应该打几折出售?每日最高利润为多少元?

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3、如图，在△ABC中， AB=AC， F为BC中点，将△BEF沿EF折叠，使得点B的对应点B'落在边AC上．

(1)、证明△FB'C∽△ABC；

(2)、若AB=AC=6， BC=8，求线段B'C的长度．

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4、定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集内，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x-7=1的解为x=4，不等式组 ${\begin{matrix} x - 5 < 0 \\ 3 x > 6 \end{matrix}$ 的解集为2<x<5. 因为2<4<5，所以称方程2x-7=1是不等式组 ${\begin{matrix} x - 5 < 0 \\ 3 x > 6 \end{matrix}$ 的“相伴方程”．

(1)、若不等式组为 ${\begin{array}{l} x - 3 < 1 \\ x + 2 \leq 0 \end{array}$ ，则方程2x+5=1是不是该不等式组的“相伴方程”?请说明理由；

(2)、若关于x的方程3x-k=6是不等式组 ${\begin{matrix} 3 x + 1 > 2 x \\ \frac{x - 1}{2} \geq \frac{2 x + 1}{3} - 1 \end{matrix}$ 的“相伴方程”，求k的取值范围．

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5、如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5)， B(-4，1)， C(-1，2)．

(1)、将△ABC向右平移6个单位长度得到△A₁B₁C₁ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出△A₁B₁C₁关于点O成中心对称的△A₂B₂C₂；

(3)、若△ABC绕某点旋转得到△A₂B₂C₂ ，则旋转中心的坐标为；

(4)、若存在点D 使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标：．

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6、解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$

(2)、 ${(x + 1)}^{2} + 2 (x + 1) = 0$

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7、先化简再求值： $(\frac{2 m - 1}{m} - 1) \div \frac{m^{2} - 1}{m^{2} + 2 m},$ 其中m=2．

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8、如图，在平行四边形ABCD中， AC=2， BC=3， ∠ACB=45°，点E是AD的中点，点F、G分别是BC和AC上的动点，且CF=2AG ，连接AF，EG，则AF+2EG的最小值是．

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9、若关于x的分式方程 $\frac{x + m}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 3$ 的解为正数，则m的取值范围是．

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10、学校里一段艺术连廊是由完全相同的砖块密铺而成，如图，每块砖可看作五边形ABCDE，其中∠C=∠E=90°， ∠A=∠B=∠D，则∠A的度数为度．

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11、如图，矩形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，且∠AOD=120°，过点A作AE⊥BD于点E，若BE=1，则DE= ．

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12、对关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 将其一次项系数变为相反数，得到方程 $a x^{2} - b x + c = 0,$ 则称这两个方程为“共轭方程”．若m为方程 $x^{2} + k x - 1 = 0$ 的根，n为其共轭方程 $x^{2} - k x - 1 = 0$ 的根，其中k为整数，且 $\frac{m - n}{m n} = - 6,$ 则k的值为( )

A、6 B、–6 C、3 D、-3

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13、如图，∠ACB=90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD若BC=4， AE=5，则四边形ACBE的周长为( )

A、16 B、18 C、19 D、20

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14、我国古代数学名著《九章算术》中记录：“今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日，疾马日速倍迟．”译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍．设慢马的速度为x里/天，列出方程正确的是( )

A、 $\frac{900}{x - 1} = \frac{900}{2 x + 3}$ B、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{900}{2 x - 3}$ C、 $\frac{900}{x} + 1 = \frac{900}{2 x} - 3$ D、 $\frac{900}{x} - 1 = \frac{900}{2 x} + 3$

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15、如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠B=30°，分别以A， B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，所画的弧交于两点，连接该两点，所得直线交BC于点D，连接AD．若BD=6，则 CD的长为( )

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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16、阿基米德曾说：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理．图甲是用杠杆撬石头的示意图，当用力向下压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm， BD=20cm，则AC的长度是( )

A、60cm B、50cm C、40cm D、80cm

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17、根据图中所标出的角度，下列平行四边形中不一定是菱形的是( )

A、 B、 C、 D、

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18、下列式子中，从左到右的变形属于因式分解的是( )

A、 $x (x - 1) = x^{2} - x$ B、 $x^{2} - y^{2} = {(x - y)}^{2}$ C、 $x^{2} + 3 x + 3 = x (x + 3) + 3$ D、 $x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

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19、近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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20、如图 $1$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到矩形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ，点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的对应点分别为 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 、 $D^{'}$ ，延长 $C^{'} B^{'}$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连结 $A E$ ．

(1)、求证： $A E$ 平分 $∠ B A B^{'}$ ；

(2)、如图 $2$ ， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，当 $C$ 在 $C D$ 的延长线上时，求 $B E$ 的值；

(3)、如图 $3$ ，连结 $B D$ ， $B^{'} D^{'}$ ，当点 $B$ 落在 $B D$ 上时， $B^{'}$ 、 $D^{'}$ 、 $C$ 共线，求 $A B$ ： $B C$ 的值．

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