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1、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $B C = 6 \sqrt{3}$ ， $∠ C = 30 °$ ，点 $D$ 从点 $C$ 出发沿 $C A$ 方向以每秒 $2$ 个单位长的速度向点 $A$ 匀速运动，同时点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 方向以每秒 $1$ 个单位长的速度向点 $B$ 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 $D$ 、 $E$ 运动的时间是 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ 、 $E F$ ．

(1)、求 $A B$ ， $A C$ 的长；

(2)、四边形 $A E F D$ 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 $t$ 值：如果不能，说明理由．

(3)、若 $△ D E F$ 为直角三角形，求 $t$ 的值．

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2、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，过点 $A$ 作 $B C$ 的垂线，垂足为点 $E$ ，延长 $B C$ 到点 $F$ ，使 $C F = B E$ ，连接 $D F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E F D$ 是矩形；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{5}$ ， $A C = 4$ ，求 $A E$ 的长．

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3、如图，有一架秋千，当它静止在 $A D$ 的位置时，踏板离地的垂直高度 $D E$ 为 $0.4 m$ ，将秋千 $A D$ 往前推送 $1.5 m$ （即水平距离 $C B = 1.5 m$ ），到达 $A B$ 的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度 $B F$ 为 $0.9 m$ ，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

(1)、求秋千的长度 $A D$ ．

(2)、如果想要踏板离地的垂直高度为 $1.4 m$ 时，求需要将秋千 $A D$ 往前推送多少 $m$ ？

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4、如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的顶点 $A 、 B 、 C$ 均在格点上，且 $A 、 B 、 C$ 的坐标分别为 $(- 1, 0) 、 (0, - 3) 、 (5, 2)$ ．

(1)、证明： $△ A B C$ 是直角三角形；

(2)、若以 $A 、 B 、 C 、 D$ 为顶点的四边形是平行四边形，则点 $D$ 的坐标为_____．

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5、已知边长分别是 $(\sqrt{3} + 1) m$ ， $(\sqrt{3} - 1) m$ 的两个正方形的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．

(1)、求 $S_{1} + S_{2}$ 的值；

(2)、用一根长为 $14 m$ 的铁丝，能否围成这两个正方形？

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{16 a} + \sqrt{9 a}$ ；

(2)、 $2 \sqrt{24} \times \sqrt{\frac{1}{2}}$ ．

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7、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作射线 $O M$ 、 $O N$ 分别交边 $B C 、 C D$ 于点 $E 、 F$ ，且 $∠ E O F = 90^{\circ}$ ，连接 $E F$ ．给出下面5个结论：
① $△ B O E ≌ △ C O F$ ；
② $B E^{2} + C E^{2} = 2 O E^{2}$ ；
③四边形CEOF的面积为 $\frac{1}{4}$ ；
④若 $E F$ 的中点为 $K$ ，则 $O K + C K$ 的最小值为 $\sqrt{2}$
⑤当 $∠ D O F \neq 45^{\circ}$ 时， $O C < E F$ ．
上述结论中，所有正确的结论是．（填序号）．

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8、如图，在菱形纸片 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ，点 $E$ 在 $B C$ 边上，将菱形纸片 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，点 $C$ 落在 $A B$ 边的垂直平分线上的点 $C^{'}$ 处，则 $∠ D E C$ 的大小为．

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9、在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A B = 2$ ，
（1）若 $∠ A = 30 °$ ，则 $A C =$ ．
（2）若 $∠ A = 45 °$ ，则 $A C =$ ．

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10、若使二次根式 $\sqrt{x - 5}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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11、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足 $4 (S_{1} + S_{2}) = S_{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A B = A C$ B、 $2 A B = A C$ C、 $2 A B = B C$ D、 $2 A C = B C$

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12、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，连接 $O H$ ，若 $A C = 16$ ，菱形 $A B C D$ 的面积为96，则 $O H$ 的长为（）

A、6 B、5 C、 $\frac{\sqrt{73}}{2}$ D、3

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13、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（　　）

A、6 B、5 C、3 $\sqrt{3}$ D、4 $\sqrt{2}$

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14、如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的 $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $118 °$ B、 $122 °$ C、 $128 °$ D、 $132 °$

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15、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，下列说法不正确的是（）．

A、当 $A C = B D$ 时，四边形 $A B C D$ 是矩形 B、当 $A C ⊥ B D$ 时，四边形 $A B C D$ 是正方形 C、当 $A B = B C$ 时，四边形 $A B C D$ 是菱形 D、当 $∠ D A B = 90 °$ 时，四边形 $A B C D$ 是矩形

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16、如图，要测定被池塘隔开的 $A$ 、 $B$ 两点的距离，可以在 $A B$ 外选一点 $C$ ，连接 $A C$ 、 $B C$ ，并分别找出它们的中点 $D$ 、 $E$ ，连接 $D E$ ．现测得 $A C = 30 m$ ， $B C = 40 m$ ， $D E = 24 m$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为（）

A、 $35 m$ B、 $45m$ C、 $48m$ D、 $50m$

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17、下列计算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{5} + \sqrt{2} = \sqrt{7}$ B、 $5 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 4$ C、 $3 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{20} \div \sqrt{10} = \sqrt{2}$

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18、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（）

A、0.6，0.8，1 B、3，4，5 C、 $1, 2, \sqrt{5}$ D、4，5，6

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19、下列各式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{0.7}$ D、 $\sqrt{18}$

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20、2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在 $0.00035$ 秒左右，将 $0.00035$ 用科学记数法表示为（）

A、 $3.5 \times 10^{- 6}$ B、 $0.35 \times 10^{- 4}$ C、 $3.5 \times 10^{- 4}$ D、 $35 \times 10^{- 5}$

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