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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5 ， A C = 3 ， A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，设 $A D$ 的长为 $m$ ，延长 $A D$ 到点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ，由“ $SAS$ ”可证得 $△ A C D ≌ △ E B D$ ，因此 $B E = A C = 3$ ．在 $△ A B E$ 中，根据三角形三边的不等关系，可得 $A E$ 长度的取值范围，从而得到 $△ A B C$ 的中线 $A D$ 长度的取值范围即 $m$ 的取值范围是．

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2、如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $A D$ 上一点， $P Q$ 垂直平分 $B E$ ，分别交 $A D 、 B E 、 B C$ 于点P、O、Q，连接 $B P 、 E Q$ ．

(1)、求证：四边形 $B P E Q$ 是菱形；

(2)、若 $A B = 6$ ， F为 $A B$ 的中点， $O F + O B = 9$ ，求 $P Q$ 的长．

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3、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线交于点 $O$ ， $∠ A C B$ 的外角平分线所在直线与 $∠ A B C$ 的平分线相交于点 $D$ ，与 $∠ A B C$ 的外角平分线相交于点 $E$ ，则下列结论一定正确的是．（填写所有正确结论的序号）
① $∠ B O C = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A$ ；② $∠ D = \frac{1}{2} ∠ A$ ；③ $∠ E = ∠ A$ ；④ $∠ E + ∠ D C F = 90 ° + ∠ A B D$

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4、若 $3 x - 4 y = 0$ ，则 $\frac{x + y}{y} =$ ．

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5、如图（1），方格图中每个小正方形的边长为1．点A、B、C都是格点

(1)、在图（1）中画出 $△ A B C$ 关于直线 $M N$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、如图（2），A、C是直线 $M N$ 同侧固定的点，B是直线 $M N$ 上的一个动点，在直线 $M N$ 上画出点B，使 $A B + B C$ 的值最小．

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6、如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2, A C = A D$ ，添加下列条件之一：① $A B = A E$ ；② $B C = E D$ ；③ $∠ C = ∠ D$ ；④ $∠ B = ∠ E$ ．其中能使 $△ A B C ≌ △ A E D$ 成立的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7、在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．

(1)、统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；

(2)、对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？

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8、把式子 $21 - (+ 6) + (- 15) - (- 7)$ 改写成省略括号的和的形式．

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9、已知二次函数 $y = 2 {(x - 1)}^{2}$ 的图象如图所示，求 $△ A B O$ 的面积．

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10、关于未知数x的方程kx²+4x﹣1=0只有正实数根，则k的取值范围为（　　）

A、﹣4≤k≤0 B、﹣4≤k＜0 C、﹣4＜k≤0 D、﹣4＜k＜0

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11、如图，在Rt△ABC中， $A B = A C, ∠ A = 90 °, ∠ B$ 的平分线交AC于点D，从点C向BD的延长线信垂线，垂足为E.求证：BD=2CE.

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12、如图所示，在△ABC中，M，N为AC边上的两点，已知AB=NB，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且∠NBM=∠NBD，若∠A=α，求∠C的度数.(用含α的代数式表示)

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13、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BE⊥AC于点E.求证：∠BAC=2∠EBC.

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14、如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于点D，∠A=40°，求∠BCD的度数.

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15、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=2，则BF的长为.

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16、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线.若△ABC的周长为16，AB：BD=5：3，则BC的长为.

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17、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD=BE.如果∠BAC=100°，那么∠ADE为°.

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18、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=80°，过AC的中点D作DE∥BC交AB于点E，则∠EDB=( )

A、30° B、40° C、45° D、80°

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19、如图所示，点E在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC=70°，则∠ABE的度数为( )

A、25° B、20° C、15° D、10°

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20、下列说法错误的是( )

A、等腰三角形的两个底角相等 B、等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 D、等腰三角形顶角的外角是其中一个底角的2倍

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