相关试卷

（1）求证：$AC$是$\odot O$的切线；

（2）若$AD:DB=3:2$ ， $AC=15$ ， 求$\odot O$的直径．

若两条直线$l_1$和$l_2$的交点在x轴上，且直线l分别与直线$l_1$交于点$P\left(m,n\right)$ ， 与直线$l_2$交于点$Q\left(n,m\right)$（P、Q不与原点重合），则称直线l是$l_1$和$l_2$的“美好对应轴”．

例：如图1所示，$l_1:y=-\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}$与$l_2:y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$相交于点$A\left(5,0\right)$ ， 直线$l:y=-x-1$分别与$l_1$ ， $l_2$交于点$P\left(-2,1\right)$和点$Q\left(1,-2\right)$ ， 称直线l是$l_1$和$l_2$的“美好对应轴”．

在《第一章勾股定理》中，我们先是通过测量、数格子的方法初

步发现了勾股定理，后续又通过严谨的推理过程验证了这一定理．在研究勾股定理的过程中，我们观察到面积与线段之间存在着可相互转化的关系．具体而言，在某些特定条件下，可以通过构造适当的几何模型或运用代数方法，实现面积大小与线段长度的转换．

【基础应用】

（1）如图1，$\text{Rt}△ABC$的三边分别为a，b，c，以三边向外作正方形，正方形的面积分别记为$S_1,S_2,S_3$ ． 若$S_3-S_2=8$ ， 则$a=$            ；

【延伸扩展】在课后拓展环节，老师留下思考题：你能提出什么新问题？

（2）小宝同学设计了如下问题：如图2，分别以四边形$ACBD$的四条边为边向外作四个正方形，已知$\angle ACB=\angle ADB=90°$ ， 面积分别为m，n，p，q． 若$m+n=12$求$p+q$的值．

（3）小安同学设计了如下问题：如图3，将图1的图形放入长方形$OPQR$中，使点I，J、K，L，M，N都在长方形$OPQR$的边上，连接$KC、LC$ ， 若$S_{△KLC}=10$ ， $b=2a$ ， 求c的值．

小宝同学：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；

小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96．

示例：原字母“D”（$x=4$），加密得$y=2\times 4+1=9$ ， 对应字母“I”．现有字母“$LR$”，则加密后的字母是（       ）

（1）如图1，$EF$是等腰$\Delta ABC$的逆等线，若$EF\perp AB,AB=AC=5,AE=2$ ， 求逆等线$EF$的长；

（2）如图2，若直角$\Delta DEF$的直角顶点$D$恰好为等腰直角$\Delta ABC$底边$BC$上的中点，且点$E,F$分别在$AB,AC$上，求证：$EF$为等腰$\Delta ABC$的逆等线；

（3）如图3，等腰$\Delta AOB$的顶点$O$与原点重合，底边$OB$在$x$轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象交$\Delta AOB$于点$C,D$ ， 若$CD$恰为$\Delta AOB$的逆等线，过点$C,D$分别作$CE\perp x$轴于点$E,DF\perp x$轴于点$F$ ， 已知$OE=2$ ， 求$OF$的长．

在$\text{Rt}△ABC$中，$\angle C=90°,\angle A,\angle B,\angle C$的对边分别是$a$ ， $b$ ， $c$ ， 称$\text{sin}A=\frac{a}{c},\text{sin}B=\frac{b}{c}$是两个锐角$\angle A$ ， $\angle B$的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为$1$ ， 即$\text{sin}90°=1$ ， 也就是$\text{sin}C=\frac{c}{c}=1$ ， 其实对于任意的锐角三角形$ABC$ ， 上述结论仍然成立．如图①，过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$ ， 则在$\text{Rt}△ABD$中，$\text{sin}B=\frac{AD}{c}$ ， 所以$AD=c\cdot \text{sin}B$ ， 所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}a·AD=\frac{1}{2}ac\cdot \text{sin}B$ ， 在$\text{Rt}△ACD$中，$\text{sin}C=\frac{AD}{b}$ ， 所以$AD=b\cdot \text{sin}C$ ， 所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}a·AD=\frac{1}{2}ab\cdot \text{sin}C$ ， 同理可得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc·\text{sin}A$ ， 因此$\frac{1}{2}ac\cdot \text{sin}B=\frac{1}{2}ab\cdot \sin C=\frac{1}{2}bc\cdot \text{sin}A$ ， 即$ac\cdot \sin B=ab\cdot \text{sin}C=bc\cdot \text{sin}A$ ， 因为$abc\ne 0$ ， 每项都除以$abc$ ， 得$\frac{\text{sin}B}{b}=\frac{\text{sin}C}{c}=\frac{\text{sin}A}{a}$ ， 即$\frac{a}{\text{sin}A}=\frac{b}{\text{sin}B}=\frac{C}{\text{sin}C}$ ．

任务：

【初步应用】：

（1）如图②，在锐角三角形$ABC$中，$\angle B=60°,\angle C=45°,c=2$ ， 则$AC$的长是_____；

（2）求问题（1）中$△ABC$的面积．

【综合应用】：

（3）如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼$AB$的高度，在$A$处用测角仪测得地面点$C$处的俯角为$45°$ ， 点$D$处的俯角为$15°$ ， $B$ ， $C$ ， $D$在一条直线上，且$C$ ， $D$两点的距离为$100\text{m}$ ， 求楼$AB$的高度．（参考数据：$\sqrt{3}\approx 1.7,\text{sin}15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})$

（1）若∠ABD＝25°，求∠DAC的度数（提示：半径OD⊥AC，可根据垂径定理解题）；

（2）求证：DF＝AF．