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1、据长沙统计局发布，初步核算，2025年全市实现地区生产总值为 1 573 782 000 000元，数据1 573 782 000 000用科学记数法表示为（）

A、1.573782×10¹³ B、 $1.573782 \times 1 0^{12}$ C、1.573782×10¹¹ D、157.3782×10¹⁰

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2、我们知道直角三角形的三边长满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，那么在锐角三角形和钝角三角形中，三边长又满足什么关系呢？勤思小组做了进一步探究，以下是部分探究过程：
如图①，在锐角 $△ A B C$ 中，过点A作 $A D ⊥ B C$ 于点D． $∠ A D C = ∠ A D B = 90 °$
在 $Rt △ A C D$ 中， $A D^{2} = A C^{2} - C D^{2}$
在 $Rt △ A B D$ 中， $A D^{2} = A B^{2} - B D^{2} = A B^{2} - {(B C - C D)}^{2}$
由上面两个等式，等量代换得：；
所以，化简为 $A B^{2} =$ ；

(1)、请你补充完成上面横线上所缺的过程；

(2)、善学小组在探究中发现，如图②，当 $△ A B C$ 为钝角三角形（ $∠ C$ 为钝角）时，也有类似的结论．请类比勤思小组的方法写出该结论，并说明理由；

(3)、如图③，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 8 ， B C = 6 ， C D = 9 ， A D = 11$ ，求该四边形的面积；敏学小组的思路是连接 $A C$ ，过点D作 $D F ⊥ A C$ 于点F，请利用敏学小组的思路直接写出四边形 $A B C D$ 的面积．

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3、问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （其中a、b、c为三角形的三边长， $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．

(1)、利用材料1解决下面的问题：
当 $a = 3 ， b = 5 ， c = 6$ 时，求这个三角形的面积：

(2)、利用材料2解决下面的问题：
已知 $△ A B C$ 三条边的长度分别是 $a = \sqrt{x + 1}, b = \sqrt{{(5 - x)}^{2}}, c = 4 - {(\sqrt{4 - x})}^{2}$ ，记 $△ A B C$ 的周长为 $C_{△ A B C}$ ．
①当 $x = 2$ 时，请直接写出 $△ A B C$ 中最长边的长度________；
②若x是满足 $0 < x \leq 4$ 的整数，当 $C_{△ A B C}$ 取得最大值时，请用秦九韶公式求出 $△ A B C$ 的面积．

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4、如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求作图．

(1)、在图①中，画一条线段 $A B$ ，使线段 $A B = \sqrt{17}$ ；

(2)、在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；

(3)、在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．，

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5、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ B D$ ， $C F ⊥ B D$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ．求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形．

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6、计算： $2 (\sqrt{3} + 1) - (2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$

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7、在平行四边形 $A B C D$ 中，如果 $∠ A + ∠ C = 110 °$ ，则 $∠ B =$ ．

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8、正方形的周长 $C$ 与边长 $a$ 之间的关系为 $C = 4 a$ ，则常量为．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $B C = 5$ ， $P$ 为边 $B C$ 上一动点， $P E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $P F ⊥ A C$ 于 $F$ ， $M$ 为 $E F$ 的中点，则 $A M$ 的最小值为（）

A、 $2.4$ B、2 C、 $1.6$ D、 $1.2$

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10、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（　　）

A、100° B、120° C、130° D、150°

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11、如图，一圆柱体底面周长为 $40 cm$ ，高 $A B$ 为 $30 cm$ ， $B C$ 是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于（）

A、 $40 cm$ B、 $50 cm$ C、 $\sqrt{700} cm$ D、 $\sqrt{1300} cm$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ B C$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，若 $A D = 1$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、一个正方形的面积为8cm $^{2}$ ，则它的对角线长为（　　）

A、2cm B、2 $\sqrt{2}$ cm C、4cm D、3cm

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14、 $\sqrt{16}$ 的值是（）

A、4 B、 $\pm 4$ C、2 D、8

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15、综合与实践：后视镜的视角问题
【素材一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）．
【素材二】三角形三个内角的和等于 $180 °$ ．
如图2，小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形 $A B C D$ 表示，司机位于车内左前方，眼睛用点 $O$ 表示， $O E ∥ A B$ ，左侧后视镜用线段 $A P$ 表示，左后视镜打开后 $A P$ 与 $A B$ 形成的 $∠ B A P$ 可在一定范围内调节， $∠ B A P$ 不小于 $50 °$ ，不大于 $80 °$ ，点 $H$ 为线段 $A P$ 上的任意一点，且点 $H$ 为入射点， $H H^{'}$ 为法线，图上各点均在同一平面内．
【问题解决】
（1）如图2，当 $∠ B A P = 60 °$ 时，
①若 $∠ E O H = 70 °$ ，求反射角 $∠ H^{'} H O$ 的大小；
②若入射光线 $F H$ 恰好平行于 $A B$ ，求此时 $∠ E O H$ 的大小；
【拓展应用】
（2）如图3， $M P$ ， $N A$ 为入射光线， $P O$ ， $A O$ 为反射光线， $P P^{'}$ ， $A A^{'}$ 为法线．司机在调节左侧后视镜(即 $∠ B A P$ 的大小)和移动眼睛 $O$ 的位置时，满足 $∠ E O A$ 大于 $40 °$ ．若 $∠ A O P$ 的大小始终不变，试判断 $∠ M P O - ∠ N A O$ 的值是否会发生变化，并说明理由；
（3）汽车起步时，司机要观察汽车周围环境，如图4，汽车尾部左侧有一障碍物，但他坐在驾驶位上无法看清该障碍物全貌，此时_______(填写序号)，司机就可以通过左侧后视镜观察到该障碍物全貌．
①人眼 $O$ 沿射线 $O E$ 方向向前移动；
②人眼 $O$ 沿射线 $O Q$ 方向向右移动；
③后视镜 $P A$ 绕 $A$ 点逆时针转动；
④后视镜 $P A$ 绕 $A$ 点顺时针转动．

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16、请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c）， $\sqrt{a + 4} + {(c + 3)}^{2} = 0$ ， b为 $\sqrt{7}$ 的整数部分．

(1)、a＋b＋c＝　　；

(2)、点P为坐标平面内的一个动点，若S_△_PBC＝2S_△_ABC ，求点A与点P距离的最小值；

(3)、如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．

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17、水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准 ${8m}^{3}$ ，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表：
时间项目
用水量 $(m^{3})$
费用（元）
1月
11
28
2月
15
44

(1)、请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？

(2)、小明家三月份用水量是 $24 m^{3}$ ，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？

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18、实数 $a$ 和 $b$ 在数轴上对应的点如图所示．

(1)、将 $- a$ 和 $- b$ 对应的点标在数轴上，并将 $a$ ， $- a$ ， $b$ ， $- b$ 按从小到大的顺序用“ $<$ ”排列；

(2)、若实数 $c$ 为8的立方根，求代数式 $\sqrt{a^{2}} + |a - b| + \sqrt{{(b - c)}^{2}} + 2 a$ 的值．

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19、求下列各式中的x：

(1)、 $4 {(2 x - 1)}^{2} = 36$

(2)、 ${(x - 1)}^{3} = - 8$

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20、解二元一次方程组： $\{\begin{array}{l} y = 3 - x \\ 3 x + 2 y = 4 \end{array}$ ．

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时间项目	用水量 $(m^{3})$	费用（元）
1月	11	28
2月	15	44