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1、下列计算正确的是 ( )

A、 $- 5^{2} = 25$ B、 ${(- 5)}^{3} = - 15$ C、 $5^{- 2} = - 25$ D、 $5^{4} \div 5^{3} = 5$

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2、抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + c$ 经过点 $A (3,0)$ ，点 $C (0, - 3)$ ，直线 $y = - x + b$ 经过点 $A$ ，交抛物线于点 $E .$ 抛物线的对称轴交 $A E$ 于点 $B$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ，交直线 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图 $①$ ，点 $P$ 为直线 $A C$ 下方抛物线上的点，连接 $P A$ ， $P C$ ， $△ B A F$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ P A C$ 的面积记为 $S_{2}$ ，当 $S_{2} = \frac{3}{8} S_{1}$ 时．求点 $P$ 的横坐标；

(3)、如图 $②$ ，连接 $C D$ ，点 $Q$ 为平面内直线 $A E$ 下方的点，以点 $Q$ ， $A$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $△ C D F$ 相似时 $(A E$ 与 $C D$ 不是对应边 $)$ ，请直接写出符合条件的点 $Q$ 的坐标．

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3、在▱ $A B C D$ 中， $∠ C = 45 °$ ， $A D = B D$ ，点 $P$ 为射线 $C D$ 上的动点 $($ 点 $P$ 不与点 $D$ 重合 $)$ ，连接 $A P$ ，过点 $P$ 作 $E P ⊥ A P$ 交直线 $B D$ 于点 $E$ ．

(1)、如图 $①$ ，当点 $P$ 为线段 $C D$ 的中点时，请直接写出 $P A$ ， $P E$ 的数量关系；

(2)、如图 $②$ ，当点 $P$ 在线段 $C D$ 上时，求证： $D A + \sqrt{2} D P = D E$ ；

(3)、点 $P$ 在射线 $C D$ 上运动，若 $A D = 3 \sqrt{2}$ ， $A P = 5$ ，请直接写出线段 $B E$ 的长．

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4、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，过 $O A$ 上的点 $P$ 作 $P D ⊥ A C$ ，交 $C B$ 的延长线于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，点 $F$ 为 $D E$ 的中点，连接 $B F$ ．

(1)、求证： $B F$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $A P = O P$ ， $c o s A = \frac{4}{5}$ ， $A P = 4$ ，求 $B F$ 的长．

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5、批发商以每千克 $18$ 元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于 $28$ 元．经市场调查发现，山野菜的日销售量 $y ($ 千克 $)$ 与每千克售价 $x ($ 元 $)$ 之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价 $x ($ 元 $)$
$\dots \dots$
$20$
$22$
$24$
$\dots \dots$
日销售量 $y ($ 千克 $)$
$\dots \dots$
$66$
$60$
$54$
$\dots \dots$

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？

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6、数学活动小组欲测量山坡上一棵大树 $C D$ 的高度，如图， $D C ⊥ A M$ 于点 $E$ ，在 $A$ 处测得大树底端 $C$ 的仰角为 $15 °$ ，沿水平地面前进 $30$ 米到达 $B$ 处，测得大树顶端 $D$ 的仰角为 $53 °$ ，测得山坡坡角 $∠ C B M = 30 ° ($ 图中各点均在同一平面内 $)$ ．

(1)、求斜坡 $B C$ 的长；

(2)、求这棵大树 $C D$ 的高度 $($ 结果取整数 $)$ ， $($ 参考数据： $s i n 30 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $c o s 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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7、学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、键球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有人；

(2)、在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整；

(3)、在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有 $2$ 名同学有健美操基础，学校准备从这 $4$ 人中随机抽取 $2$ 人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的 $2$ 名同学恰好是同一个班级的概率．

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8、先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{2 x - 4}{x^{2} + x}$ ，其中 $x = 6$ ．

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9、如图，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $O D$ 的中点，连接 $C E$ 并延长交 $A D$ 于点 $G$ ，将线段 $C E$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $C F$ ，连接 $E F$ ，点 $H$ 为 $E F$ 的中点．连接 $O H$ ，则 $\frac{G E}{O H}$ 的值为．

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10、如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $A B = 3 B C$ ，点 $D$ 在 $x$ 轴的负半轴上， $A D = A B$ ，连接 $B D$ ，过点 $A$ 作 $A E / / B D$ 交 $y$ 交于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A E$ 上，连接 $F D$ ， $F B .$ 若 $△ B D F$ 的面积为 $9$ ，则 $k$ 的值是．

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11、如图， $C D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，过点 $D$ 分别作 $A C$ ， $B C$ 的平行线，交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F .$ 若 $∠ A C B = 60 °$ ， $C D = 4 \sqrt{3}$ ，则四边形 $C E D F$ 的周长是．

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12、如图，直线 $y = 2 x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，点 $D$ 为 $O B$ 的中点，▱ $O C D E$ 的顶点 $C$ 在 $x$ 轴上，顶点 $E$ 在直线 $A B$ 上，则▱ $O C D E$ 的面积为．

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13、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - k + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是．

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14、某新闻媒体发布“王亚平成为中国首位出舱的女航天员”，据不完全统计，总播放量超过 $29600000$ 次，将数据 $29600000$ 用科学记数法表示为．

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15、如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $B C = 4$ ，在 $R t △ D E F$ 中， $∠ E D F = 90 °$ ， $∠ F = 30 °$ ， $D E = 4$ ，点 $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 在一条直线上，点 $C$ ， $D$ 重合， $△ A B C$ 沿射线 $D E$ 方向运动，当点 $B$ 与点 $E$ 重合时停止运动．设 $△ A B C$ 运动的路程为 $x$ ， $△ A B C$ 与 $R t △ D E F$ 重叠部分的面积为 $S$ ，则能反映 $S$ 与 $x$ 之间函数关系的图象是( )

A、 B、 C、 D、

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16、如图， $O G$ 平分 $∠ M O N$ ，点 $A$ ， $B$ 是射线 $O M$ ， $O N$ 上的点，连接 $A B .$ 按以下步骤作图： $①$ 以点 $B$ 为圆心，任意长为半径作弧，交 $A B$ 于点 $C$ ，交 $B N$ 于点 $D$ ； $②$ 分别以点 $C$ 和点 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径作弧，两弧相交于点 $E$ ； $③$ 作射线 $B E$ ，交 $O G$ 于点 $P .$ 若 $∠ A B N = 140 °$ ， $∠ M O N = 50 °$ ，则 $∠ O P B$ 的度数为( )

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $65 °$

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17、下面是九年一班 $23$ 名女同学每分钟仰卧起坐的测试情况统计表：
个数 $/$ 个
$35$
$38$
$42$
$45$
$48$
人数
$3$
$5$
$7$
$4$
$4$
则该班女同学每分钟仰卧起坐个数的中位数是( )

A、 $35$ 个 B、 $38$ 个 C、 $42$ 个 D、 $45$ 个

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18、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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19、下列运算正确的是( )

A、 $2 a^{2} \cdot 3 a = 6 a^{3}$ B、 $(2 a)^{3} = 2 a^{3}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 $3 a^{2} + 2 a^{3} = 5 a^{5}$

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20、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- \frac{1}{2}, \frac{27}{8})$ 和点 $B (4, 0)$ ，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．

(1)、求抛物线和直线 $A B$ 的解析式；

(2)、如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作 $P D ⊥ A B$ ，垂足为D，作 $P E ⊥ x$ 轴，垂足为E，交 $A B$ 于点F，设 $△ P D F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B E F$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{49}{25}$ 时，求点P坐标；

(3)、点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线 $B C$ 垂直平分线段 $P N$ ？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．

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