相关试卷

1、为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为 $60$ 元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为 $48.6$ 元，并且每次降价的百分率相同．

(1)、求该文化衫每次降价的百分率；

(2)、若该文化衫每件的成本价为 $40$ 元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于 $4300$ 元？

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2、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = ∠ B C D$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；

(2)、若 $A B = 5$ ， $A D = 3$ ， $A C ⊥ B C$ ，求 $A C$ 的长

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3、如图，在平面直角坐标系中，一直线 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1} \neq 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B (0, 2)$ ，与正比例函数 $y_{2} = k_{2} x (k_{2} \neq 0)$ 的图象交于点 $P (1, 1)$ ．

(1)、求直线 $y_{1}$ 的解析式．

(2)、直接写出 $k_{1} x + b > k_{2} x$ 的解集．

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4、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若 $a b = 8$ ，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．

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5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = x + 1$ 与 $y = k x + b$ （ $k$ 、 $b$ 为常数，且 $k \neq 0$ ）的图象交点的横坐标为3，则关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} y = x + 1 \\ y = k x + b \end{array}$ 的解为

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6、某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照 $2 : 4 : 4$ 的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是．

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7、在函数 $y = \frac{\sqrt{x - 2}}{3}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是．

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8、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线和 $∠ C D A$ 的平分线交于 $B C$ 上一点 $E$ ，若 $A B = 2, A E = 3$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、5 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{5}{2}$

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9、一次函数 $y = - x + 2$ 的图像与 $y$ 轴的交点坐标为（）

A、 $(2 ， 0)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(0 ， - 2)$

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10、点 $(2, 4)$ 关于y轴对称的点的坐标是（）

A、 $(4, 2)$ B、 $(- 2, 4)$ C、 $(- 2, - 4)$ D、 $(2, - 4)$

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11、如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - 2 x + 2$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $C$ 、 $D$ ，以 $C D$ 为边作正方形 $A B C D$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限经过点 $A$ ．

(1)、直接写出点 $C$ 、 $D$ 、 $A$ 的坐标及 $k$ 的值；

(2)、如图②，将直线 $O A$ 向下平移得到直线 $E F$ ，交 $x$ 轴于点 $E$ ，交 $y$ 轴于点 $F$ ，交 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $G$ ，若 $S_{△ A O G} = 6$ ，求直线 $E F$ 的解析式；

(3)、如图③，将直线 $O A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45 °$ 后与第一象限的双曲线交于点 $P$ ，求点 $P$ 的横坐标．

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12、【阅读】
三角形中位线定义：在 $△ A B C$ 中，若点 $D 、 E$ 分别是 $A B$ 与 $A C$ 的中点．则 $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

(1)、【定理证明】
证明三角形的中位线定理的方法有多种．我们可以延长 $D E$ 至 $F$ ，使得 $D E = E F$ ，连接 $C F$ ，再利用全等三角形、平行四边形的知识进行证明，请结合图2，完成证明．
已知：在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点．
求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．

(2)、【定理应用】
①顺次连接菱形 $A B C D$ 四条边的中点所得的四边形一定是（）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
②在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边的中点， $A E$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $A E ⊥ C E$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ．若 $A C = 10$ ， $D E = 3$ ，求 $A B$ 的长．

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13、年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，进价和售价见表，且用320元购买敖丙挂件的个数与用400元购买哪吒挂件个数一样多．

敖丙挂件
哪吒挂件
进价（元/个）
$m$
$m + 2$
售价（元/个）
11
15

(1)、求 $m$ 的值

(2)、若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共1000件，其中敖丙挂件 $x$ 个，两种挂件全部销售后获得的利润为 $y$ 元，该批发商最多投入资金8600元用来采购且全部销售后利润不低于3500元，
求① $y$ 与 $x$ 的函数关系式
②该批发商采取何种进货方案获利最大，最大利润是多少元？

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14、已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A N$ 是 $△ A B C$ 外角 $∠ C A M$ 的平分线， $C E ⊥ A N$ ，垂足为点 $E$ ．

(1)、用尺规完成以下基本作图：作 $∠ B A C$ 的角平分线，交 $B C$ 于点 $D$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在（1）的基础上求证：四边形 $A D C E$ 为矩形；

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15、我市某学校为推动“五育”并举，提高学生的综合素质，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【收集、整理数据】同学们随机收集桂花树、香樟树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长 $y$ （单位： $cm$ ），宽 $x$ （单位： $cm$ ）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
桂花树叶的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
香樟树叶的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.3
1.9
【分析数据】

平均数
中位数
众数
方差
桂花树叶的长宽比
3.74
$m$
4.0
0.0424
香樟树叶的长宽比
$n$
1.95
2.0
0.0669
【应用数据】

(1)、上述表格中： $m =$ ， $n =$ ；

(2)、甲同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为桂花树叶的形状差别大．”乙同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现香樟树叶的长约为宽的两倍．”
哪位同学的说法合理？答：．

(3)、现有一片长 $10.3 c m$ ，宽 $5.1 c m$ 的树叶，请判断这片树叶更可能来自于桂花、香樟中的哪种树？并给出你的理由．

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16、计算或解方程

(1)、计算： $\sqrt[3]{- 8} + {(π - 3.14)}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 3} + {(- 1)}^{2025}$ ；

(2)、计算 $\frac{a^{2}}{a - b} - a - b$ ；

(3)、解方程 $\frac{x + 1}{4 x^{2} - 1} = \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{2 x + 1}$ ；

(4)、先化简，再求值： $(\frac{a + 1}{2 a - 2} - \frac{1}{2 a^{2} - 2}) \div \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ ，其中 $- 1 \leq a \leq 2$ ，选取一个合适的整数．

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17、如图， $P$ 是函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上一点，直线 $y = - x + 3$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ 、 $B$ ，过点 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴于点 $M$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，作 $P N ⊥ y$ 轴于点 $N$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，当 $A F \cdot B E = 10$ 时， $k$ 的值为．

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18、观察下列一串单项式： $x$ ， $- 2 x^{2}$ ， $4 x^{3}$ ， $- 8 x^{4}$ ， $16 x^{5}$ …，则第10个单项式为．

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19、将直线 $y = 2 x$ 向上平移 $m$ 个单位长度后与直线 $y = - x + n$ 交于点 $(1, a)$ ，则方程 $2 x + m = - x + n$ 的解为 $x =$ ．

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20、已知平行四边形的周长是20，相邻两边的长度相差2，则该四边形的较长边的长度为．

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	敖丙挂件	哪吒挂件
进价（元/个）	$m$	$m + 2$
售价（元/个）	11	15

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
桂花树叶的长宽比	3.8	3.7	3.5	3.4	3.8	4.0	3.6	4.0	3.6	4.0
香樟树叶的长宽比	2.0	2.0	2.0	2.4	1.8	1.9	1.8	2.0	1.3	1.9

	平均数	中位数	众数	方差
桂花树叶的长宽比	3.74	$m$	4.0	0.0424
香樟树叶的长宽比	$n$	1.95	2.0	0.0669