相关试卷

1、如图，在锐角三角形ABC中，AB=4 $\sqrt{2}$ ， ∠BAC=45°，∠BAC的平分线交 BC 于点D，M，N分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN的最小值为.

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2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)，B(0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连结PO，PA，则PO+PA的最小值为.

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3、如图，已知直线 $y = - \sqrt{3} x + 4$ 分别与x轴，y轴交于A，B 两点，⊙O 的半径为1，P 为AB上一动点，PQ与⊙O相切于点Q.当线段PQ长取最小值时，直线 PQ交y轴于点M，a为过点 M 的一条直线，则点 P 到直线a 的距离的最大值为.

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4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE.若M 是 DE 上一个动点，则线段CM 长的最小值为.

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5、如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，P为BC 边上任意一点，连结PA，以 PA，PC为邻边作▱PAQC，连结 PQ，则 PQ长度的最小值为.

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6、如图，在 Rt△ABC中，已知 $s i n B = \frac{3}{5} ，$ 点 D 在AB 上(不与点A，B重合)，过点 D 作DE⊥AC于点 E，DF⊥BC于点 F，连结EF，则 $\frac{E F}{A B}$ 的最小值为.

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7、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为 AC 的中点.若点 D 在线段 BC上运动，连结OE，则在点 D运动过程中，线段OE 长的最小值为 ( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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8、如图，在▱ABCD 中，∠C=120°，AD=4，AB=2，H，G分别是边CD，BC上的动点，连结 AH，HG，E为AH 的中点，F 为GH 的中点，连结 EF，则 EF长的最小值为

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9、【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题.费马曾写信请托里拆利解答如下问题：如图R5-5①，给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P 的位置.托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点 A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马一托里拆利点.
【问题解决】证明：如图②，把△APC绕点
A 逆时针旋转 60°得到△AP'C'，连结 PP'，
∴∠PAP^'=60°，AP=AP^' ， PC=P^'C^' ，
∴△APP'为等边三角形，∴AP=PP'，
$∴ P A + P B + P C = P P^{'} + P B + P^{'} C^{'} .$
点 C'可看成是点 C 绕点 A 逆时针旋转 60°而得的定点，BC为定长，
∴当 B，P，P'，C'四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.

(1)、观察图②中∠APB，∠BPC和∠APC，试猜想这三个角的大小关系；

(2)、【类比探究】如图③，在 Rt△ABC内部有一动点 P，∠ACB=90°，∠BAC=30°，连结PA，PB，PC，若 BC=2，求 PA+PB+PC的最小值；

(3)、【拓展应用】如图④，已知正方形AB-CD内一动点 P 到A，B，C三点的距离之和的最小值为 $\sqrt{2} + \sqrt{6} ，$ 求此正方形的边长.

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10、在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于其边长的 $\sqrt{2}$ 倍.某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系进行探究，具体如下：如图①.

(1)、∵四边形 ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
$∴ A B^{2} = A O^{2} + B O^{2} .$
又∵AC=2AO，BD=2BO，
$∴ A B^{2} =$ +
化简整理，得. $A C^{2} + B D^{2} =$ .

(2)、 [类比探究]
如图②，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系.

(3)、 [拓展应用]
如图③，四边形ABCD为平行四边形，对角线 AC，BD相交于点O，E为AO 的中点，F为BC的中点，连结EF.若AB=8，BD=8，AC=12，直接写出EF的长度.

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11、材料：若a，b是两个正数，由完全平方式的非负性可得： ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0 ，$ 所以 $a - 2 \sqrt{a b} +$ b≥0，从而 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ (当且仅当a=b时取等号).
例如：当x为正数时，则有 $x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} =$ 2，当且仅当 $x = \frac{1}{x} ，$ 即x=1时取等号，所以当x=1时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值为2.
请根据以上结论解答下列问题：

(1)、当x，y为正数时，求 $\frac{2 y}{x} + \frac{8 x}{y}$ 的最小值；

(2)、当x>1时，求 $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值；

(3)、已知：a，b是两个正数，且a+b=1，求 $\frac{1}{a} +$ $\frac{1}{b}$ 的最小值.

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12、阅读材料，解答下列问题：
材料：已知. $\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x} = 1 ，$ 求 $\sqrt{15 - x} +$ $\sqrt{8 - x}$ 的值.
李聪同学是这样解答的：
$∵ (\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x}) (\sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x})$
$= {(\sqrt{15 - x})}^{2} - {(\sqrt{8 - x})}^{2}$
=15-x-8+x=7，
$∴ \sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x} = 7 .$
这种方法称为“构造对偶式”.
问题：已知 $\sqrt{30 - x} + \sqrt{9 - x} = 7 .$

(1)、求 $\sqrt{30 - x} - \sqrt{9 - x}$ 的值；

(2)、求x的值.

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13、定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角.

(1)、如图①，∠D 是△ABC中∠A 的好望角，若∠A =α，请用含 α 的代数式表示∠D.

(2)、如图②，在△ABC中，∠BAC的平分线与经过B，C两点的圆交于点D，E，且∠ACE+∠BDE=180°，求证：∠ADB 是△ABC 中∠ACB的好望角.

(3)、如图③，在(2)的条件下，
①取 $\hat{C E}$ 的中点F，连结CD，CF，若CD=4， $C F = \sqrt{6} ，$ 求圆的半径r；
②若∠BAC=90°，BC=6，请直接写出线段AE的最大值.

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14、定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.

(1)、如图①，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，对角线 DB 平分∠ADC，求证：四边形ABCD为邻等四边形；

(2)、如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点 D；

(3)、如图③，四边形 ABCD 是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过点 B 作 BE∥AC交DA 的延长线于点E.若AC=8，DE=10，求四边形 EBCD的周长.

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15、定义：对于y关于x的函数，函数在 $x_{1} \leq x \leq x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 范围内的最大值，记作M[x₁ ， x₂].
如函数y=2x，在-1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[-1，3]=6.
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数 $y = (a - 1) x^{2} - 4 x + a^{2} - 1$ (a为常数).

(1)、若a=2.
①直接写出该函数的表达式，并求 M[1，4]的值；
②已知 $M [p, \frac{5}{2}] = 3 ，$ 求p的值.

(2)、若该函数的图象经过点(0，0)，且.M[-3，k]=k，求k的值.

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16、如图①，△ABC与△A₁B₁C₁满足∠A=∠A₁ ， AC=A₁C₁ ， BC=B₁C₁ ， ∠C≠∠C₁ ，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在△ABC 中，AB=AC，点 D，E在线段BC上，且BE=CD，则图中共有“伪全等三角形” ( )

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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17、在数轴上，点A表示的数是4，点O表示的数是0，点 P 表示的数是p(p≠0).定义：点 B在线段OP 上，如果线段 AB的长度有最大值m，则称m为点 A与线段OP的“闭距离”.例如：p=2，当点 B 与点 O重合时，m=4.若p=-2，则m的值是( )

A、2 B、4 C、5 D、6

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18、对于一个二次函数 y=a(x- ${m)}^{2} + k (a \neq 0)$ 中存在一点 P(x'，y')，使得x'- $m = y^{'} - k \neq 0 ，$ 则称 $2 ∣ x^{'} - m ∣$ 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + 3$ 的“开口大小”为.

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19、定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b， $a \otimes b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} .$ 若(x+1)⊗x= $\frac{2 x + 1}{x} ，$ 则x的值为.

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20、如图 R4-12，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系.

(1)、过点 A，B，C的圆的圆心M 的坐标为；

(2)、请通过计算判断点 D(-3，-2)与⊙M的位置关系.

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