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1、在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若 $a^{3} = 2$ ， $b^{5} = 3$ ，则 $a 、 b$ 的大小关系是 $a$ ____ $b$ （填“ $<$ ”或“ $>$ ”．）
解： $∵ a^{15} = {(a^{3})}^{5} = 2^{5} = 32$ ， $, b^{15} = {(b^{5})}^{3} = 3^{3} = 27$ ，且 $32 > 27$ ，
$∴ a^{15} > b^{15}$ ， $∴ a > b,$
类比阅读材料的方法，解答下列问题：

(1)、上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：____；

A、同底数幂的乘法 B、同底数幂的除法 C、幂的乘方 D、积的乘方

(2)、比较 $8 1^{5}, 2 7^{8}, 9^{11}$ 的大小；

(3)、比较 $2^{100}$ 与 $3^{75}$ 的大小；

(4)、已知 $5^{a} = 324$ ， $5^{b} = 4$ ， $5^{c} = 9$ ．求 $a, b, c$ 之间的等量关系．

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2、阅读理解：下面是小明完成的一道作业题．
小明的作业：计算： ${(- 4)}^{7} \times 0.2 5^{7}$ ．
解：原式 $= {(- 4 \times 0.25)}^{7} = {(- 1)}^{7} = - 1$ ．
知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题：
① $8^{2025} \times {(- 0.125)}^{2025}$ ；
② ${(\frac{12}{5})}^{11} \times {(- \frac{5}{6})}^{13} \times {(\frac{1}{2})}^{12}$ ．
知识拓展：若 $2 \cdot 4^{n} \cdot 1 6^{n} = 2^{19}$ ，求 $n$ 的值．

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3、计算下列各题，结果用幂的形式表示．

(1)、 $1 0^{4} \times 1 0^{7}$ ；

(2)、 $2^{6} \times 2^{5}$ ；

(3)、 ${(\frac{2}{3})}^{2} \times {(\frac{2}{3})}^{3}$ ；

(4)、 ${(\frac{1}{5})}^{4} \times {(\frac{1}{5})}^{5}$ ；

(5)、 $(- 3)^{3} \times (- 3)^{4}$ ；

(6)、 $(- 7)^{2} \times (- 7)^{4}$ ．

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4、观察等式： $1 + 2 + 2^{2} = 2^{3} - 1$ ， $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 1$ ， $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 1$ …，若 $1 + 2 + 2^{2} + ⋯ + 2^{10} = 2^{11} - 1 = m$ ，则 $2^{12} + 2^{13} + ⋯ + 2^{21} =$ （用含m的代数式表示）

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5、已知 $4^{2 x} \times 5^{2 x + 1} - 4^{2 x + 1} \times 5^{2 x} = 2 0^{3 x - 4}$ ，则x的值为．

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6、计算： ${(\frac{2}{3})}^{2025} \times (1.5)^{2026} \times (- 1)^{2025} =$ ．

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7、

(1)、计算： ${(x^{4})}^{3} \cdot x^{7} =$ ；

(2)、化简： $- a \cdot {[{(- a)}^{3}]}^{2} =$ ．

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8、已知 $a^{x} = 2, a^{y} = 6$ ，那么 $a^{2 y - x}$ 的值为．

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9、已知 $3^{a} = 5, 5^{b} = 6$ ，则 ${3^{a}}^{b} =$ ．

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10、我们定义： $= a^{b + c}$ ， $= p^{m} \cdot q^{n} .$ 若 $= 27$ ，则的值为（）

A、4 B、16 C、64 D、256

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11、 $2^{202} \times 4^{203} \times 8^{204}$ 的个位数字是（ )

A、2 B、4 C、8 D、6

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12、已知a ， b ， c为自然数，且满足 $2^{a} \times 3^{b} \times 4^{c} = 96$ ，则 $a + 2 b - 3 c$ 的取值不可能是（）

A、 $- 3$ B、2 C、1 D、7

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13、若 $m n \neq 0$ ，定义新运算 $m Θ n = m^{- 2} + (m n)^{- 1} + n^{- 3}$ ，则 $(- \frac{1}{3}) Θ \frac{1}{2}$ 的值是（）

A、 $- 3$ B、11 C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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14、已知 ${(- a^{2})}^{6} = 5$ ，则 ${(- a^{4})}^{3}$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、5 C、 $\frac{1}{5}$ D、无法确定

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15、有下列算式：① $a^{m} \cdot a^{2} = a^{m + 2}$ （ $m$ 是正整数）；② ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ ；③ ${(- x^{2})}^{3} = x^{6}$ ；④ ${(- a^{3})}^{2} \cdot a^{4} = a^{9}$ ．其中，正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16、下列说法正确的是（）

A、 ${(3.14 - π)}^{0}$ 没有意义 B、任何数的0次幂都等于1 C、 $1 0^{6} \div 1 0^{2} = 1 0^{3}$ D、若 ${(x + 3)}^{0} = 1$ ，则 $x \neq - 3$

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17、下列计算结果正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ B、 $a^{6} - a^{2} = a^{4}$ C、 $(3 a^{3})^{2} = 6 a^{6}$ D、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{6}$

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18、对x ， y定义一种新运算T ，
规定： $T (x, y) = a x + 2 b y - 1$ （其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： $T (0, 1) = a \times 0 + 2 b \times 1 - 1 = 2 b - 1$ ．

(1)、已知 $T (1, - 1) = - 6$ ， $T (4, 2) = 3$ ．
①求a ， b的值；
②若关于m的不等式组 ${\begin{array}{l} T (2 m, 5 - 4 m) \leq 1 \\ T (m, 3 - 2 m) > p \end{array}$ 恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；

(2)、若 $T （ x, y ） = T （ y, x ）$ 对任意实数x ， y都成立（这里 $T （ x, y ）$ 和 $T （ y, x ）$ 均有意义），则a ， b应满足怎样的关系式？

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19、

(1)、当 $x$ 取什么值时，代数式 $5 x + 2$ 的值是负数？

(2)、当 $x$ 取什么值时，代数式 $x + 20$ 的值小于 $\frac{1}{2} x + 4$ 的值？

(3)、当 $x$ 取什么值时，代数式 $\frac{6 x + 1}{3}$ 的值不大于 $- \frac{x - 5}{2}$ 的值？

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20、已知 $(m - 4) x^{| m - 3 |} + 2 > 6$ 是关于x的一元一次不等式，求m的值．

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