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1、比较大小： $- 1 \frac{3}{4}$ $- 1.2$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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2、“中国结”寓意美满团圆，中间的图案是由小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形共有14个小正方形，第2个图形共有19个小正方形，第3个图形共有24个小正方形，……，依此规律，第7个图形中小正方形的总个数为（）

A、39 B、44 C、64 D、69

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3、若 $x = 2$ 时，代数式 $a x^{3} + 2 b x - 3$ 的值为4，则 $x = - 2$ 时，代数式 $a x^{3} + 2 b x - 3$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 10$ D、 $- 7$

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4、数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式不正确的是（）

A、 $a + b < 0$ B、 $b - a < 0$ C、 $a b < 0$ D、 $\frac{b^{2}}{a} < 0$

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5、已知 ${(x - 2)}^{2} + |y + 1| = 0$ ，则 ${(x + 3 y)}^{3} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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6、下列说法正确的是（）

A、0是最小的整数 B、若 $|a| = a$ ，则a为正数 C、“m与n的和的倒数”表示为 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ D、长方体的体积一定时，它的底面积与高成反比例

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7、在下列各数 $- (+ 2) ， - 3^{2} ， {(- \frac{1}{3})}^{4} ， - \frac{2^{2}}{5} ， - {(- 1)}^{5} ， - |- 3|$ 中，负数的个数为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8、下列各式中，符合代数式书写规则的是（）

A、 $x \times 5$ B、 $1 \frac{1}{2} x y$ C、 $2.5 t$ D、 $x - 1 \div y$

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9、如图，已知抛物线 $y = x^{2} + 2 b x + c$ 与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点C的纵坐标为3，且 $O B = O C$ ．

(1)、求b和c的值．

(2)、在抛物线的对称轴上存在一点P，使 $P A + P C$ 最小，请求出点P的坐标．

(3)、抛物线上是否存在点Q，使得 $S_{△ Q O A} = 2 S_{△ B O C}$ ？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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10、某电子产品零售商计划对一款智能手表进行降价促销．该智能手表的成本价为每块200元．当售价为每块800元时，其日销售量为50块．市场研究表明，该智能手表的售价每降低10元，其日销售量就会增加5块．已知该智能手表的售价始终不低于成本价．

(1)、如果零售商决定降价60元进行销售，那么降价后的日销售利润是多少元？

(2)、零售商希望每天通过销售这款智能手表获得的利润为60 000元，那么这款智能手表应降价多少元？

(3)、为了最大化日销售利润，零售商应该将这款智能手表的售价定为多少元？此时，每天能获得的最大利润是多少元？

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11、在2024年巴黎奥运会跳水比赛中，中国跳水运动员以其精湛的技术和完美的表现赢得了全世界的瞩目，为了研究跳水运动员的运动轨迹，我们建立了如下的数学模型．跳水运动员从跳板起跳后，其身体（视为一点）在空中的运动轨迹可以近似地看作是一条抛物线．已知跳板 $A B$ 的长度为 $3 m$ ，跳板距水面 $O C$ 的高度 $O A$ 为 $10 m$ ．运动员起跳后，在离起跳点 $B$ （跳板右端）水平距离 $1 m$ 处达到距水面 $O C$ 的最大高度 $11 m$ ．分别以 $O C$ ， $O A$ 所在直线为 $x$ 轴和 $y$ 轴，点 $O$ 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)、求跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式；

(2)、求跳水运动员入水点 $C$ 距池边点 $O$ 的水平距离（结果保留根号）．

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12、阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，则有 $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 3 = 0$ ， $∴ {(x - 2)}^{2} = 1$ ，解得 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 1$ ．已知 $x^{2} - 2 x + y^{2} + 4 y + 5 = 0$ ，求x，y的值，则有 $(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 4 y + 4) = 0$ ， $∴ {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 0$ ，解得 $x = 1$ ， $y = - 2$ ．
根据以上材料解答下列各题：

(1)、若 $x^{2} + 6 x + y^{2} - 8 y + 25 = 0$ ，求 ${(x + y)}^{2024}$ 的值；

(2)、若 $a, b, c$ 分别表示 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + 8 b^{2} + c^{2} - 4 a b - 4 b c = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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13、在下图的网格中，每个小正方形的边长均为 $1$ ， $△ A B C$ 的三个顶点都是网格线的交点，已知 $B ， C$ 两点的坐标分别为 $(- 3, 0)$ ， $(- 1, - 1)$ ．

(1)、请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点 $A$ 的坐标．

(2)、将 $△ A B C$ 绕坐标原点顺时针旋转 $90 °$ ，画出转旋后的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．

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14、请从以下四个方程中任选两个，并用恰当的方法解这两个方程．
① $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ；② $4 {(x - 1)}^{2} = 16$ ；③ $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ ；④ $x^{2} + 5 x = 0$ ．

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15、已知，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是．

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16、当 $k$ 满足时，关于 $x$ 的方程 $(k + 1) x^{2} + 5 x - 2 = 0$ 是一元二次方程．

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17、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列选项不正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a b c < 0$ C、 $0 < - \frac{b}{2 a} < 1$ D、 $a + b + c < 0$

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18、如图， $△ A B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转一定角度后得到 $△ C B D$ ，点 $D$ 恰好落在 $A E$ 的延长线上．若 $∠ A E B = 120 °$ ，则旋转角的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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19、如图，小明家有一块长 $50 m$ ，宽 $30 m$ 的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为 $1260 m^{2}$ ，求小路的宽．设小路的宽为 $x m$ ，则可列方程为（）

A、 $(50 - 2 x) (30 - x) = 1260$ B、 $(50 - x) (30 - 2 x) = 1260$ C、 $(50 - x) (30 - x) = 1260$ D、 $(50 - 2 x) (30 - 2 x) = 1260$

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20、若函数 $y = k x^{2} - 2 x - 1$ 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）

A、 $k \geq - 1$ 且 $k \neq 0$ B、 $k > - 1$ C、 $k > - 1$ 且 $k \neq 0$ D、 $k \geq - 1$

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