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1、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的高．

(1)、尺规作图：作出 $A B$ 的垂直垂直平分线 $E F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ， $A B$ 于点 $F ($ 不写作法，保留作图痕迹 $)$

(2)、连接 $A E$ ，若 $∠ B = 20 °$ ， $∠ A C B = 110 °$ ，求 $∠ C A E$ 的度数．

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2、（1）计算： $\frac{1}{a + 1} + \frac{a}{a + 1}$
（2）因式分解： $x^{3} - x$

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3、若 $x^{2} + k x + 1$ 是完全平方式，则 $k$ 的值为．

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4、 ${(2025 - π)}^{0} =$ ．

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5、我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了 ${(a + b)}^{n} (n = 1, 2, 3, 4, \dots)$ 的展开式的系数规律（按 $a$ 的次数由大到小的顺序）：
$1$       $1$                      ${(a + b)}^{1} = a + b$
$1$       $2$       $1$                   ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
$1$       $3$       $3$         $1$              ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$1$       $4$       $6$         $4$         $1$         ${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$
……                                      ……
请根据上述规律，则 ${(x + 1)}^{2025}$ 展开式中含 $x^{2024}$ 项的系数是（       ）

A、 $2026$ B、 $2025$ C、 $2024$ D、 $2023$

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6、如图，一块含有 $60 °$ 角的直角三角板放置在两条平行线上，若 $∠ α = 22 °$ ，则 $∠ β$ 为（　　）

A、 $108 °$ B、 $98 °$ C、 $102 °$ D、 $82 °$

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7、将分式方程 $\frac{1}{x} = \frac{2}{x - 2}$ 去分母后得到的整式方程，正确的是（）

A、 $x - 2 x = 2 x$ B、 $x - 2 = 2 x$ C、 $x^{2} - 2 x = 2 x$ D、 $x = 2 x - 4$

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8、已知 $△ A B C$ 是等腰三角形，若 $∠ A = 100 °$ ，则 $△ A B C$ 的底角是（）

A、 $40 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $100 °$ 或 $40 °$

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9、下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ C、 ${(a^{3})}^{4} = a^{12}$ D、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$

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10、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C, A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B, C D = 3 cm$ ，则 $D E$ 等于（）

A、 $1cm$ B、 $2cm$ C、 $3cm$ D、 $4cm$

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (3, - 4)$ 关于 $y$ 轴的对称点的坐标是（）

A、 $(3, - 4)$ B、 $(- 3, - 4)$ C、 $(- 4, 3)$ D、 $(- 3, 4)$

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12、下列三条线段的长度能组成三角形的是（）

A、3，3，6 B、4，5，8 C、5，6，11 D、6，8，15

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13、若分式 $\frac{x}{x + 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq - 2$ B、 $x = 1$ C、 $x \neq 1$ D、 $x = - 2$

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14、下列图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、我们通常把图①、图②中的点E称为拐点，解决平行线中有关拐点问题的方法，一般是过拐点作平行线．

(1)、如图①，已知 $A B ∥ C D$ ，点E为AB，CD之间一点，则 $∠ B A E$ ， $∠ D C E$ ， $∠ A E C$ 的数量关系为____________；

(2)、如图②，保持 $A B ∥ C D$ ，当点E在AB上方时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，写出 $∠ B A E$ ， $∠ D C E$ ， $∠ A E C$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图③是一探照灯灯碗的截面图，在点O处发出的光线经灯碗（点C除外）反射后均沿与CO平行的方向射出，入射光线OA的反射光线为AB， $∠ O A B = 65 °$ ，若入射光线OD经灯碗反射后沿DE射出，且 $∠ O D E = 20 °$ ，求 $∠ A O D$ 的度数．

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16、平面直角坐标系中，已知点 $A (a, 0)$ ， $B (b, 3)$ ， $C (2, 0)$ ，且a，b满足 ${(a + b)}^{2} + \sqrt{a - b + 6} = 0$ ．

(1)、 $a =$ ________， $b =$ ________；

(2)、若点P是x轴上一点，且三角形 $A B P$ 的面积等于三角形 $A B C$ 的面积的2倍，求点P的坐标．

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17、如图，点E、F分别 $A B 、 C D$ 上， $A F ⊥ B F$ 于点F， $∠ A E C = ∠ B$ ， $A F$ 交 $C E$ 于点O．

(1)、求证： $A F ⊥ C E$ ；

(2)、若 $∠ A + ∠ C = 90 °$ ，求证： $A B ∥ C D$ ．

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18、若关于x，y的方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 1 \\ a x - b y = 2 \end{array}$ 与方程组 $\{\begin{array}{l} b x + a y = 4 \\ 4 x - y = 5 \end{array}$ 的解相同．

(1)、求两个方程组的相同解；

(2)、求 ${(4 a + b)}^{2025}$ 的值．

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19、为贯彻落实习近平总书记关于教育、体育的重要论述，某校在七年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．“平均每天体育运动时间”的不完整频数分布直方图如图所示（单位： $min$ ，数据分成五组： $0 \leq t < 30$ ， $30 \leq t < 60$ ， $60 \leq t < 90$ ， $90 \leq t < 120$ ， $120 \leq t < 150$ ）；
b．“平均每天体育运动时间”在 $0 \leq t < 30$ 这一组的人数占样本容量的 $5 %$ ；
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的总人数是________，并补全频数分布直方图；

(2)、若该校七年级共有600名学生，试估计该校七年级学生平均每天体育运动时间低于 $60 min$ 的学生人数．

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20、已知 $2 a - 5$ 的算术平方根是 $\sqrt{7}$ ， $a - 5 b + 1$ 的立方根是 $- 2$ ．

(1)、求a与b的值；

(2)、求 $5 a - b$ 的立方根．

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