相关试卷

1、综合与实践
【特例感知】
（1）如图1，线段 $M N = 47 cm$ ， $C D = 5 cm$ ， $A$ ， $B$ 分别是 $M C$ ， $D N$ 的中点，则 $A B =_______$ $cm$ ．
【知识迁移】
（2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图 $2$ ， $∠ C O D$ 在 $∠ M O N$ 的内部转动，射线 $O A$ 和射线 $O B$ 分别平分 $∠ C O M$ 和 $∠ D O N$ ．
①若 $∠ M O N = 160 °$ ， $∠ C O D = 50 °$ ，求 $∠ A O B$ 的度数．
②请你猜想 $∠ A O B ， ∠ C O D$ 和 $∠ M O N$ 之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
（ $3$ ）如图 $3$ ， $∠ C O D$ 在 $∠ M O N$ 的内部转动．若 $∠ M O N = α$ ， $∠ C O D = β$ ， $∠ M O A = 4 ∠ A O C$ ， $∠ N O B = 4 ∠ B O D$ ，求 $∠ A O B$ 的度数（用含有 $α$ ， $β$ 的式子来表示）．

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2、如图，已知线段AB、a、b．

(1)、请用尺规按下列要求作图：(不要求写作法，但要保留作图痕迹)
①延长线段 $A B$ 到 $C$ ，使 $B C = a$ ；
②反向延长线段 $A B$ 到D，使 $A D = b$ ．

(2)、在（1）的条件下，如果 $A B = 10 cm$ ， $B C = 8 cm$ ， $A D = 12 cm$ ，且点 $E$ 为 $C D$ 的中点，求线段 $A E$ 的长度．

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3、在 $2026$ 年园博会筹备工作中，设计师计划用长为L米的篱笆，依托园博园的景观墙围成长方形的盆景展区，如图所示．其中平行于墙的一边留有宽为 $1$ 米的门，设盆景展区的宽为 $t$ ．

(1)、用关于 $L$ ， $t$ 的代数式表示盆景展区的面积 $S$ ．

(2)、当 $L = 36$ 米， $t = 10$ 米时，求盆景展区的面积．

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4、如图， $∠ A O B$ 与 $∠ C O D$ 都是直角，若 $∠ A O D = 40 °$ ，求 $∠ C O B$ 的度数．

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5、如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有5个圆片，第2个图案中有8个圆片，第3个图案中有11个圆片，第4个图案中有14个圆片，…，依此规律，第n个图案中有个圆片（用含n的代数式表示）

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6、若一个正方体的相对面上的数相等，其展开图如图所示，则 $a + c$ 的值为．

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7、如图，将 $△ A B C$ 绕边 $A C$ 所在的直线旋转一周，可以得到的立体图形是（）

A、 B、 C、 D、

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8、将一副三角板按如图所示的方式放置，则 $∠ A O B$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $105 °$ C、 $95 °$ D、 $75 °$

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9、如图，以直角 $△ A O C$ 的直角顶点 $O$ 为原点，以 $O C$ ， $O A$ 所在直线为 $x$ 轴和 $y$ 轴建立平面直角坐标系，点 $A (0, a)$ ， $C (b, 0)$ 满足 $\sqrt{a - b + 2} + |b - 8| = 0$ ．

(1)、点 $A$ 的坐标为________；点 $C$ 的坐标为________．

(2)、已知坐标轴上有两动点 $P$ ， $Q$ 同时出发， $P$ 点从 $C$ 点出发沿 $x$ 轴负方向以每秒 $2$ 个单位长度的速度匀速移动， $Q$ 点从 $O$ 点出发沿 $y$ 轴正方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度匀速移动，点 $P$ 到达 $O$ 点整个运动随之结束． $A C$ 的中点 $D$ 的坐标是 $(4, 3)$ ，设运动时间为 $t$ 秒．问：是否存在这样的 $t$ ，使得 $△ O D P$ 与 $△ O D Q$ 的面积相等？若存在，请求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

(3)、在（2）的条件下，若 $∠ D O C = ∠ D C O$ ，点 $G$ 是第二象限中一点，并且 $y$ 轴平分 $∠ G O D$ ．点 $E$ 是线段 $O A$ 上一动点，连接 $C E$ 交 $O D$ 于点 $H$ ，当点 $E$ 在线段 $O A$ 上运动的过程中，探究 $∠ G O A$ ， $∠ O H C$ ， $∠ A C E$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

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10、问题情境：如图 $1$ ， $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 在直线 $A B$ 上，点 $F$ 在直线 $C D$ 上，点 $P$ 在直线 $A B$ ， $C D$ 之间，连接 $P E$ ， $P F$ ．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．

(1)、观察猜想：小明猜想 $∠ A E P + ∠ C F P = ∠ E P F$ ，他过点 $P$ 作 $P Q ∥ A B$ ，如图 $2$ ，请帮他完成证明过程．

(2)、深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到 $∠ B E P$ ， $∠ E P F$ ， $∠ P F D$ 之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．

(3)、问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为 $A, B, C, D, E, F, G$ ，并连接 $A B, B C, C D, D E, E F, F G$ ．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线 $A B$ 与天玑、天璇所在的直线 $E F$ 几乎平行（如图 $4$ ）（因为距离地球很远，所以近似看作 $A B ∥ E F$ ）．结合上面的探究过程，若 $∠ H B C = 36 °, ∠ B C D = 168 °, ∠ D E F = 103 °$ ，则 $∠ C D E =__°$ ．

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11、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 (6 - x) ＞ 3 (x - 1) ， \\ \frac{x}{3} - \frac{x - 2}{2} \leq 1 . \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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12、 $\sqrt[3]{64}$ 的立方根为．

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13、 $16$ 的平方根是(　　)

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $\pm 4$ D、 $\sqrt{2}$

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14、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $A B = 8$ ，点 D 为边 $A B$ 上一点，且 $A D = 2$ ，经过D，B，C三点的圆交边AC 于点E，连接 $B E$ ， $D C$ 交于点F，连接 $D E$ ．

(1)、当 $D E ⊥ A B$ 时，求证： $△ A B C$ 是等腰直角三角形；

(2)、如图2，当 $B E = B C$ 时，求 $cos ∠ C D B$ 的值；

(3)、如图3，当 $B E ⊥ C D$ 时，求 $A E$ 的长．

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15、中央广播电视总台 $2026$ 马年春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，寓意着骏马奔腾、昂扬奋进的时代气象．受此启发，我们定义如下概念：对于一平面图形，若存在一个固定的方向，使得两端点都在这个图形上且与该方向平行的所有截线段的中点都在同一直线 $l$ 上，则称这个图形为“骐骥图形”，直线 $l$ 为这个图形的“驰骋轴”（“驰骋轴”的存在性无需证明）．
例如：如图，在正方形 $A B C D$ 中，取固定方向为平行于对角线 $A C$ 的方向，两端点都在正方形上且平行于 $A C$ 的所有截线段（如 $M_{1} N_{1}$ ， $M_{2} N_{2}$ ， $M_{3} N_{3}$ 等）的中点均在对角线 $B D$ 所在的直线上．因此，正方形 $A B C D$ 是“骐骥图形”，直线 $B D$ 是它的一条“驰骋轴”．

(1)、请你判断下列图形是否为“骐骥图形”（在题后相应的括号中，是“骐骥图形”的打“ $\sqrt$ ”，不是“骐骥图形”的打“ $\times$ ”）：
①梯形；（       ）
②六边形；（       ）
③双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ （       ）

(2)、由定义可知三角形和抛物线都是“骐骥图形”．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a$ 与x轴的交点为 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），其“驰骋轴” $l$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $M$ 是抛物线的“驰骋轴”l上一动点．
①若 $△ A M C$ 的“驰骋轴”为直线 $y = 2 x + n$ ，求点 $M$ 的坐标；
②在点 $M$ 的运动过程中， $tan ∠ A M O$ 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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16、2026年是红军长征胜利90周年，某校初三年级开展红色研学，筹备甲、乙两种研学包，其中甲包含1张长征路线图和3枚纪念章，乙包含2张长征路线图和2枚纪念章．

(1)、若学校有100张长征路线图，200枚纪念章，恰好能搭配甲、乙两种研学包各多少个？

(2)、若计划共搭配90个研学包，且乙包数量不低于甲包的一半，至少需要准备多少张长征路线图？

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17、为传承湖湘文化，弘扬非遗魅力，长沙某学校举办“指尖非遗·青春传韵”校园文化竞赛，设置湘绣创意、长沙童谣传唱、岳麓山传说讲述、长沙糖画制作四大特色项目，评选出一、二、三等奖和优秀奖．赛后统计获奖情况，部分数据绘制成如图所示的统计表和扇形统计图．
等级
频数
频率
一等奖
$a$
$0.1$
二等奖
$10$
$0.2$
三等奖
$20$
$b$
优秀奖
$15$
$0.3$
请你根据以图表提供的信息，解答下列问题：

(1)、频数分布表中的 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数 $n =$ ；

(3)、为扩大非遗文化宣传，学校计划从获得一等奖的选手中，随机抽取 $2$ 人担任校园“非遗文化推广员”，其中王梦（湘绣创意项目）、李雪（长沙糖画制作项目）都获得一等奖，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中王梦、李雪二人的概率．

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18、我国生产的无人机畅销世界，在航拍、测绘等领域广受好评．摄影爱好者小王使用无人机进行城市航拍时，发现一栋特色建筑物．如图所示，从无人机所在位置A 观测建筑物顶部B 的仰角为 $45 °$ ，观测底部C的俯角为 $60 °$ ，且无人机A 到该建筑物 $B C$ 的水平距离 $A D$ 为10米，请你帮小王计算该建筑物 $B C$ 的高度．（结果保留根号）

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19、先化简，再求值： $(a - \frac{4 b^{2}}{a}) \div \frac{a - 2 b}{a}$ ，其中 $a ， b$ 满足 $a + 2 b + 3 = 0$ ．

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20、计算： $|1 - \sqrt{3}| + \sqrt[3]{- 8} - 2 cos 30 ° + {(- 2026)}^{0}$ ．

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等级	频数	频率
一等奖	$a$	$0.1$
二等奖	$10$	$0.2$
三等奖	$20$	$b$
优秀奖	$15$	$0.3$