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1、如图，在 $△ A B C$ 中，D为 $B C$ 延长线上的一点， $∠ A = 60 ° ， ∠ A C D = 120 °$ ．求证： $△ A B C$ 是等边三角形．

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2、如图，已知在 $△ A B C$ 和 $△ D A E$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 边上， $∠ C = ∠ A E D = 90 °$ ， $A C = D E$ ， $A B =$ $D A$ ，求证： $△ A B C ≌ △ D A E$ ．

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3、如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $C$ 的对应点 $E$ 落在 $C B$ 的延长线上，连接 $B D, B D = 10, D E = 6, C E = 14$ ，则 $A C$ 的长为．

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4、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的外角 $∠ C A E$ 的平分线，交 $B C$ 的延长线于点 $D$ ， $C F ∥ A D$ ．若 $A C = 3 cm$ ，则 $A F$ 的长度为 $cm$ ．

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5、如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = k_{1} x + b$ （ $k_{1}$ 、 $b$ 均为常数，且 $k_{1} \neq 0$ ）与直线 $l_{2} : y = k_{2} x$ （ $k_{2}$ 、为常数，且 $k_{2} \neq 0$ ）交于点 $(1, 2)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $k_{2} x < k_{1} x + b$ 的解集为（）

A、 $x < 1$ B、 $x \leq 1$ C、 $x > 1$ D、 $x \geq 1$

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 2 ∠ A$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ A = 60 °$ B、 $∠ B = 90 °$ C、 $A C = 2 B C$ D、 $A B = 2 B C$

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7、如图， $△ A B C$ 沿 $A B$ 边平移得到 $△ D F E$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别是点 $D, F, E$ ，若 $∠ E = 106 °$ ，则 $∠ C =$ （）

A、 $96 °$ B、 $116 °$ C、 $164 °$ D、 $106 °$

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8、已知，如图点M为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 中点，点D为直线 $A M$ 上一个动点（不与点A重合）， $D E ∥ A B, C E ∥ A M$ ，连接 $A E$ ．

(1)、如图1，当点D与M重合时，求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形；

(2)、如图2，当 $∠ B D E = 90 °$ 时，求证：四边形 $A B D E$ 是矩形；

(3)、如图3，延长 $B D$ 交边 $A C$ 于点H，过点D作 $D F ⊥ A E$ 于点F，若 $B H ⊥ A C$ ，且 $B H = \sqrt{2} A M$ ，求证：四边形 $A F D H$ 是正方形．

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9、如图，在菱形 $A B C D$ 中，P是对角线 $A C$ 上一动点，过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E， $P F ⊥ A B$ 于点F．若菱形 $A B C D$ 的周长为20，面积为24，则 $P E + P F$ 的值为（）

A、4 B、 $\frac{12}{5}$ C、6 D、 $\frac{24}{5}$

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10、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E ⊥ A B$ 交对角线 $A C$ 于点E．若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 度数为（）

A、 $105 °$ B、 $115 °$ C、 $125 °$ D、 $135 °$

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11、如图，矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A B = 2$ ， $∠ A O D = 120 °$ ，则 $B C$ 的长度为（）

A、4 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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12、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $△ C B E$ 是等边三角形， $∠ C D E$ 的度数为（）

A、 $75 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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13、如图，在数轴上点 $A$ 表示数 $a$ ，点 $B$ 表示数 $b$ ，点 $C$ 表示数 $c$ ， $b$ 是最小的正整数，且 $a$ 、 $b$ 满足 $| a + 2 | + {(c - 6)}^{2} = 0$ ．

(1)、 $a =$                      ， $b =$                    ， $c =$                      ．

(2)、动点 $P$ 、 $Q$ 同时从原点出发，点 $P$ 向负半轴运动，点 $Q$ 向正半轴运动，点 $Q$ 的速度是点 $P$ 速度的3倍，2秒钟后，点 $P$ 到达点 $A$ ．
①点 $Q$ 的速度是每秒                    个单位，此时，点 $P$ 与 $Q$ 之间的距离为                    ；
②若运动时间为 $t$ 秒，用含 $t$ 的代数式表示点 $P$ 表示的数为                    ；
③点 $Q$ 到达点 $C$ 后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点 $P$ 与点 $Q$ 能相遇？

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14、已知关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{cases} x - 2 y = - 6 \\ b x + a y = - 8 \end{cases}$ 与方程组 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = 10 \\ a x - b y = 6 \end{array}$ 有相同的解．

(1)、求这两个方程组的相同解；

(2)、求 ${(a - b)}^{2026}$ 的值．

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15、如图1是2025年元月的日历，用图2中的“工”字形图案盖住图1中的7个数，若“工”字形图案盖住的7个数的和为154，则“工”字图中最大的数为．

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16、一个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式可以是（）

A、 $x - 1 < 0$ B、 $x - 1 > 0$ C、 $x - 1 \leq 0$ D、 $x - 1 \geq 0$

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17、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 60 °$ ，点E为菱形 $A B C D$ 内部一点，将 $△ B C E$ 绕B点顺时针旋转 $60 °$ ，使边 $B C$ 与 $A B$ 重合，得到 $△ B A M$ ，且点M、A、E在同一直线上．延长 $B E$ 交射线 $A D$ 于G点，延长 $C E$ 交射线 $A D$ 于F点．

(1)、求 $∠ F E G$ 的度数．

(2)、若 $F E = 2$ ， $E C = 4$ ，求 $A F$ 的长．

(3)、当E在内部运动时，求 $\frac{F G + F D}{A F}$ 的最小值．

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18、某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长 $2.7 m$ ，球网位于球台正中间，球网高 $0.15 m$ ，球网与原点O的水平距离为 $1.35 m$ ．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当 $O A = 0.4 m$ 时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为 $0.5 m$ ，距离球台水平面的高度为 $0.45 m$ ．

(1)、求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；

(2)、请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网；

(3)、乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为 $0.2 m$ ．若最佳击球高度为 $0.15 m$ ，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点D为 $⊙ O$ 上一点，且 $D C = D B$ ， $D E$ 与 $⊙ O$ 相切于点D， $D E$ 交 $C A$ 的延长线于点E．

(1)、求证： $D E ⊥ C E$ ；

(2)、若 $∠ A C D = 30 °$ ， $C B = 4$ ，求四边形 $D E C B$ 的面积．

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20、一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，当 $p \leq x \leq q$ 时，记该函数在区间 $[p, q]$ 上的最小值与最大值的和为 $F (p, q)$ ．如一次函数 $y = x + 1$ ，当 $2 \leq x \leq 5$ 时， $F (2, 5) = (2 + 1) + (5 + 1) = 9$

(1)、若一次函数 $y = k x + b$ 满足 $F (1, 3) = 10$ ， $F (2, 4) = 14$ ，求k和b的值；

(2)、已知一次函数的图象经过点 $(2, 4)$ ，且 $F (m, m + 2) = 8$ ，证明： $m = 1$ ．

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