相关试卷

1、小聪观察等式 $(3 a + b) (a + 2 b) = 3 a^{2} + 7 a b + 2 b^{2}$ （按a降幂排序），发现如下规律：
① 左边多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边 $(3 + 1) \times (1 + 2) = 4 \times 3 = 12$ ，右边 $3 + 7 + 2 = 12$ ，左边=右边；
② 左边两个多项式单项系数的乘积等于右边多项式的单项系数：
左边 $3 \times 1 = 3$ ，右边为3，左边=右边：
左右两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边 $1 \times 2 = 2$ ，右边为2，左边=右边.

(1)、类比探究：
请通过展开计算 $(2 a - b) (- a + 2 b)$ ，判断规律①和规律②是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程）

(2)、基础应用：
请根据上述规律填空：
① 若m，n为常数，则 $(a - b) (m a + n b)$ 的展开式中各项系数之和为；
② 若t，r为常数，满足 $(a - b) (a + r b) = 2 a^{2} - 7 a b + 3 b^{2}$ ，则 $r^{r}$ =；

(3)、拓展应用：
若p，q为常数，且 $(2 a - b) (a - p b) = 2 a^{2} + q a b - 2 b^{2}$ ，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值.

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2、如图， $A B ∥ C D$ ，点E，F分别在AB，CD上，且 $E F ⊥ G F$ ， $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 互余.

(1)、比较 $∠ A E F$ 和 $∠ 2$ 的大小关系，并说明理由；

(2)、若 $∠ 1 = 2 8^{°}$ ，求 $∠ B E P$ 的度数.

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3、为进一步加强国防教育，激发学生的爱国情怀，某学校组织了全校学生参加“国防达人知识竞赛”，并从中抽取了部分学生成绩（成绩取正整数，满分为100分）进行统计.请根据尚未完成的频数表和频数直方图，解答下列问题：
某校部分学生成绩频数表
组别/分
组中值/分
频数
频率
50.5~60.5
55.5
16
0.08
60.5~70.5
65.5
40
0.2
70.5~80.5
75.5
50
0.25
80.5~90.5
85.5
m
0.35
90.5~100.5
95.5
24
n

(1)、学校共抽取了名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= ， n=；

(2)、补全频数直方图；

(3)、若该校共有2000名学生参与此次竞赛，且成绩在90分以上的学生被评为“国防达人”，则该校获得“国防达人”称号的学生的有多少人？

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4、如图， $B D ∥ E F$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ A B C = 7 0^{°}$ ，求 $∠ B G D$ 的度数.
解：因为BD∥EF(已知)，
所以∠2=∠3，
因为∠1=∠2(已知)，
所以∠1=    ▲    (等量代换)，
所以▲    ∥AB( ▲    )；
所以∠ABC+    ▲    =180°；
因为∠ABC=70°(已知)，
所以∠BGD=    ▲    .

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5、解方程（组）：

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y = - 7 \\ x + 5 y = 3 \end{array}$

(2)、 $\frac{3}{x - 2} + \frac{x}{2 - x} = 4$

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6、化简代数式： $(\frac{2 x - 1}{x - 1} - 1) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，判断它的值能否等于0，并说明理由.

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7、计算：

(1)、 $(π + 2025)^{0} + (- 1)^{2025}$

(2)、 $(x - y)^{3} + (6 x^{3} y - 3 x^{2} y) \div 3 x$

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8、图 1 为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图 2、图 3 阴影部分）均由边长为 $(2 a + b)$ 的大正方形红布裁剪而成，图 2、图 3 空白部分为裁剪掉部分.图 2 的四个角落图形相同，其中四边形 ABCD 和 OPDQ 分别是边长为 a 和 $\frac{a}{2}$ 的正方形，中间处是边长为 $(b - a)$ 的正方形，图 3 阴影部分是由四块边长为 a 的正方形和一块边长为 b 的正方形组成，且图 2 和图 3 两块阴影部分的面积都是 60，则未裁剪前大正方形红布的面积为.

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9、如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（AB段），后抬头拉升飞行至C，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后爬升至E后，开始水平巡航（EF段），已知 $∠ A B C = 15 0^{°}$ ， $∠ C E F = 16 5^{°}$ ，则减少的仰角 $∠ D C E$ 的度数为.

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10、若 $x - 2 y = 0$ ，则分式 $\frac{x - y}{2 x + y}$ 的值为.

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11、某班对50名同学的“上学方式”进行了调查，绘制了扇形统计图.调查发现，步行上学的共有10人，则步行上学的学生人数所对应的扇形的圆心角的度数为.

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12、若关于x，y的方程 $a x - 3 y = 2$ 有一组解是 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ ，则a的值为.

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13、将长方形 A 和长方形 B 按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（）

A、6.75 B、6.5 C、6.25 D、6

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14、长方形 ABCD 按如图所示折叠， $E H ∥ P Q$ ，若 $∠ D P Q$ 的度数增大 $1 0^{°}$ ，则 $∠ E F C$ 的度数变化情况为（）

A、增大 $1 0^{°}$ B、减小 $1 0^{°}$ C、增大 $5^{°}$ D、减小 $5^{°}$

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15、《术算九章》是古代中国数学代表作之一，书中记载：“五只雀、六只燕，共重1斤（即16两），雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.”问：每只雀、燕的重量各为多少？“设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 5 x + y = x + 6 y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 4 x + y = x + 5 y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 16 \\ 5 x + y = x + 6 y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 16 \\ 4 x + y = x + 5 y \end{array}$

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16、若多项式 $x^{2} + (k - 3) x y + y^{2}$ 是完全平方式，则 k 的值为（）

A、5或1 B、 $\pm 2$ C、5 D、2

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17、将分式 $\frac{2 x y}{x + y}$ 中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（）

A、扩大为原来的2倍 B、缩小为原来的2倍 C、扩大为原来的3倍 D、缩小为原来的3倍

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18、下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的为（）

A、 $x^{2} - 2 x - 1 = x (x - 2) - 1$ B、 $2 x + 1 = x (2 + \frac{1}{x})$ C、 $(x - 2) (x + 2) = x^{2} - 4$ D、 $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$

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19、下列采用的调查方式中，合适的为（）

A、了解全市学生观看“开学第一课”的情况，采用抽样调查 B、高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检，采用抽样调查 C、出版社审核书稿中的错别字，采用抽样调查 D、调查某池塘中现有鱼的数量，采用全面调查

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20、下列计算中，正确的为（）

A、 $(a^{3})^{4} = a^{6}$ B、 $a \cdot a^{3} = a^{4}$ C、 $(- a b)^{2} = - a b^{2}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{6}$

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组别/分	组中值/分	频数	频率
50.5~60.5	55.5	16	0.08
60.5~70.5	65.5	40	0.2
70.5~80.5	75.5	50	0.25
80.5~90.5	85.5	m	0.35
90.5~100.5	95.5	24	n