相关试卷

1、活动与探究

解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的?

蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间.这是数学中的密铺(或镶嵌)问题.平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.

(1)、探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺?

平面图形	每个内角度数	能否整除	能否密铺
正三角形	60°	360°÷60°=6	能
正方形	①	②	能
正五边形	108°	$360 ° \div 108 ° = \frac{10}{3}$	不能
正六边形	120°	$360 ° \div 120 ° = 3$	能
正七边形	900° 7	$360 ° \div \frac{900 °}{7} = \frac{14}{5}$	不能
正八边形	135°	③	④
…	…	…

请补全上述表格①； ②； ③； ④.

(2)、探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料?

数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小.

观察图1，发现⊙O是正三角形ABC的内切圆，与AC切于点D ， ( $O D ⟂ A D,$ $∠ O A D = 3 0^{\circ}, O D = 1,$ ，在Rt△ADO中， . $A D = \sqrt{3},$ 则 $△ A B C$ 的周长为( $6 \sqrt{3} .$

①如图2，正方形ABCD的周长为；

②如图3，求出正六边形的周长(写出求解过程).

(3)、探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大?

数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.

若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为；正方形的面积为；正六边形的面积为.

【得出结论】综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案.

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2、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于A ， B两点，点B的坐标为(1，0)，点 C(2，5)在抛物线上.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、 ①求点A的坐标；
②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围；

(3)、连接AC交y轴于点D ，在y轴上是否存在点 P ，使 $△ A C P$ 是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由.

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3、为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.五谷画，B.彩陶，C.剪纸，D.排灯.现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查(每位学生必选且只能选一个课程)，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据以上提供的信息，解答下列问题：

(1)、此次被调查的学生总人数为；扇形统计图中 $a =$ ；

(2)、补全条形统计图；

(3)、该校有1600人，请你估计该校对课程D感兴趣的学生有多少名?

(4)、甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率.

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4、如图，线段AB经过圆心O ，交⊙O于点A ， C ， AD为⊙O的弦，连接BD ， ∠A=∠B=30°.

(1)、求证：直线 BD是⊙O的切线；

(2)、已知BC=2，求 $\hat{D C}$ 的长(结果保留π).

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5、数学实践
【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成( $6 5^{\circ}$ °夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角?
【模型建立】环节一：数据收集
两根竹竿长度均为 1.8米，插入地下的部分为 0.3米，竹竿与地面接触点间距为 0.6米且与地面所形成的夹角均为 $6 5^{\circ} .$
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O ， AB ， CD与直线l分别交于点E ， F ， $A B = C D = 1.8 m,$ $B E = D F = 0.3 m, ∠ A E F = ∠ C F E = 6 5^{\circ}, E F = 0.6 m,$ 求 OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据： $s i n 6 5^{\circ} \approx 0.91, c o s 6 5^{\circ} \approx 0.42, t a n 6 5^{\circ} \approx 2.14)$
【模型求解】

【问题总结】交叉点O 距顶端A的长度即 OA为 m时，支架与地面形成( $6 5^{\circ}$ 夹角，这样更贴合作物的生长规律.

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，点O ， D分别是边AB ， BC的中点，过点A作 $A E ‖ B C$ 交DO的延长线于点 E ，连接AD ， BE.

(1)、求证：四边形AEBD是平行四边形；

(2)、若AB=AC ，试判断四边形AEBD的形状；并证明.

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7、如图，直线. $y = - x + b$ 与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ (m为常数， $m \neq 0)$ 的图象在第二象限交于点 $C (- 1, a) .$

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求 $△ B O C$ 的面积.

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8、先化简 $(1 - \frac{a}{a + 2}) \div \frac{2}{a^{2} - 4},$ 再从-2，0，1中选一个合适的数代入求值.

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9、计算： $\sqrt{12} + {(1 - \sqrt{2})}^{0} + ∣ - \sqrt{3} ∣ - 2 s i n 3 0^{\circ}$

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10、下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程.按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是.

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ‖ B C,$ 且 $A D = 3, D B = 2,$ 3， DB=2，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值是.

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12、如图，在菱形ABCD中， $B D = 6,$ ， E ， F分别为AB ， BC的中点，且. $E F = 2,$ 则菱形 ABCD的面积为.

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13、在平面直角坐标系中，点 $P (a - 2, 1 + a)$ )在第三象限，则a的取值范围是.

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14、若 $x = 1$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + c = 0$ 的一个根，则c的值为.

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15、七名同学一分钟排球垫球个数分别为 42， 47， 43， 43， 45， 43， 46. 这组数据的众数是.

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16、实数a ， b在数轴上对应点的位置如图所示，则a+b0. (填 “＞” “=”或“＜”)

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17、如图，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的路程y(km)与时刻t之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是( )

A、乙车先到达B地 B、A、B两地相距300km C、甲车的平均速度为 100km/h D、在8：30时，乙车追上甲车

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18、如图， AB是⊙O的直径， ∠CAB=40°，则∠ADC的度数是( )

A、80° B、50° C、40° D、25°

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19、我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.试问各位善算者，多少人分多少银?”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两.若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则还差8两.请问：有多少客人?分多少银两?”设客人为x人，银两为y两.根据题意可列方程组为( )

A、 $\{\begin{matrix} y = 7 x - 4 \\ y = 9 x + 8 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} y = 7 x - 4 \\ y = 9 x - 8 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} y = 7 x + 4 \\ y = 9 x + 8 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} y = 7 x + 4 \\ y = 9 x - 8 \end{matrix}$

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20、下列计算正确的是( )

A、 $2 x + 3 x = 5 x^{2}$ B、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ C、 ${(2 x)}^{3} = 6 x^{3}$ D、 $x^{6} \div x^{2} = x^{4}$

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