相关试卷

1、在数学课上，陈老师介绍了如下几何模型：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为从顶点出发的两组腰可形象化地看作是四条“胳膊”，腰的末端端点相连则是“手拉手”.

(1)、如图1，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等腰三角形， $A B = A C, A D = A E$ ，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，求证： $B D = C E$ .

(2)、如图2，P为等边 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ A P B = 150 °$ ，则线段 $P A ， P B ， P C$ 之间有怎样的数量关系?请给出你的猜想并进行证明.

(3)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2, C D = 3, ∠ A B C = ∠ B A C = ∠ A D C = 45 °$ ，请直接写出线段BD的长度.

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2、已知，等边 $△ A B C$ ， P为直线AC上一点，点D为直线BC上一点，且 $P B = P D$ .

(1)、如图1，若P为AC的中点， $A B = 2$ ，求CD的长.

(2)、如图2，若点P为AC上任意一点，过P作 $P Q ∥ B C$ 交AB于点Q，探究线段AQ与CD的数量关系，并说明理由.

(3)、如图3，当P运动到CA延长线上，D为BC中点，PD交AB于点E， $A P = 6$ ，求BE的长.

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3、某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖.每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本共148元.

(1)、求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价；

(2)、现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元.若两种钥匙扣一共售出120套，简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元?

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4、我们把符号 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，如 $| \begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} |$ $=$ $2 \times 5 - 3 \times 4 = - 2$ .

(1)、求不等式 $| \begin{array}{l} 2 & 3 - x \\ 1 & x \end{array} | ＞ 0$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $| \begin{array}{l} m & x \\ 4 & 3 \end{array} | ＜ 0$ 的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值；

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5、如图，平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A （ - 3,2), B （ - 1,4), C （ 0,2) .$

(1)、将 $△ A B C$ 以点 $O$ 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、平移 $△ A B C$ ，若点A的对应点A₂的坐标为 $（ - 5, - 2)$ ，则点B₂的对应点坐标是；

(3)、若将 $△ A_{1} B_{1} C$ 绕某一点旋转可以得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；请在坐标系中作出旋转中心 $O'$ 的坐标为 ▲ .

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6、如图， $A B = A C,$ AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD.

(1)、请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹)，并标记D，E两点；

(2)、若 $A E = 6, △ B C D$ 的周长为19，求BC的长.

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7、如图，等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C, D E ⊥ A B, D F ⊥ A C$ ，若 $D E = D F$ ，求证：D是BC中点.

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8、

(1)、解不等式： $2 （ 1 - x) \geq - x + 3$

(2)、解不等式组： ${\begin{matrix} 1 - 3 （ x - 1) < 8 - x \\ \frac{x - 2}{2} + 1 \geq x \end{matrix}$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中 $（ ∠ C > ∠ A B C), ∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的平分线 $A E, B F$ 相交于点O， AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作 $O D ⊥ B C$ 于D，下列结论： $① ∠ A O B = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ C; ② ∠ E O D = \frac{1}{2} ∠ C - ∠ F B C$ ； ③若 $O D = a, A B + B C + C A = b$ ，则 $S_{△ A B C} = a b$ .④若 $A B = B C,$ 则 $∠ A F B = 90 °$ .其中正确的结论是.

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10、如图， $△ A B C$ 中，过点B作 $B D ⊥ A C$ 于点D， $A D = 2, ∠ A B D = 30 °$ ，取AB中点E，连结CE，若CE平分 $∠ A C B$ ，则 $B C =$ .

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11、若 $3 x^{a - 1} + 2 \leq 5$ 是关于x的一元一次不等式，则a=.

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12、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C, A D ⊥ B C$ 于点D， E、F两动点分别在线段AD、线段AB上运动，若 $∠ B A C = 40 °$ ，则当 $B E + E F$ 取得最小值时， $∠ B E F$ 的度数为（ )

A、90° B、60° C、50° D、40°

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13、一次函数. $y_{1} = k x - 1 (k \neq 0)$ 与 $y_{2} = - x + 5$ 的图象如图所示当 $y_{1} < y_{2}$ 时， x的取值范围是（ )

A、 $x < 1$ B、 $x < 3$ C、 $x > 3$ D、 $x > 5$

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14、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，使点B在DE上，若 $∠ C = 20$ °，则 $∠ A B D$ =（ )

A、40° B、65° C、70° D、120°

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15、用反证法证明命题“在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，求证： $∠ B < 90 °$ ”，应先假设（ )

A、 $∠ B \geq 90 °$ B、 $∠ B > 90 °$ C、 $∠ B \neq 90 °$ D、 $A B \neq A C$

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16、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， AD平分 $∠ B A C$ ，若 $C D = 3$ ，则点D到AB的距离为（ )

A、4 B、3.5 C、3.2 D、3

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17、甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形．

(1)、概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）；

(2)、性质探究：如图1，垂美四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ ，垂足为 $O$ ，试猜想： $A B^{2} + C D^{2}$ 与 $A D^{2} + B C^{2}$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、问题解决：如图2，分别以 $Rt △ A C B$ 的直角边 $A C$ 和斜边 $A B$ 为边向外作正方形 $A C F G$ 和正方形 $A B D E$ ，连接 $C E ， B G ， G E$ ，且 $C E$ 与 $B G$ 相交于点 $H$ ，已知 $B C = 3 ， A B = 5$ ，求 $G E$ 的长．

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19、【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动．

(1)、操作观察：
如图1所示，小华将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后，使得点 $C$ 与点 $A$ 重合，点 $D$ 与点 $G$ 重合，若 $∠ A F B = 60 °$ ，则 $∠ A F E =$ ___________ $°$ ， $A E$ $A F$ （填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ”）；

(2)、判断与证明：
如图2所示，张三将矩形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠后，使得点 $C$ 与点 $E$ 重合， $B E$ 与 $A D$ 相交于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D G ∥ B F$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，请判断四边形 $D F B G$ 的形状并证明：

(3)、迁移应用：
如图3所示，李四将矩形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠后，使得点 $C$ 与点 $E$ 重合， $B E$ 与 $A D$ 相交于点 $F$ ，连接 $A E$ ，若 $∠ C B D = 30 °, C D = 3 \sqrt{2}$ ，求 $A E$ 的长．

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20、在如图的 $4 \times 4$ 网格中，每个小正方形的边长都为1．

(1)、在图中作一个以 $A, B, C, D$ 为顶点的平行四边形，使点 $D$ 落在格点上；

(2)、请求出（1）中所作的▱ $A B C D$ 的面积和周长．

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