相关试卷

1、【问题初探】
（1）数学课上，李老师给出如下问题：如图1，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，点 $D$ 在线段 $A B$ 的延长线上，若 $A B = 12 cm$ ， $C D = 6 cm$ ，点 $E$ 是线段 $A D$ 的中点．探究 $E C$ 与 $B D$ 之间的数量关系，并说明理由．小慧同学回答：可以设 $E C = a cm$ ，用含 $a$ 的式子表示出 $B D$ 的长，进而得到 $E C$ 与 $B D$ 之间的数量关系，请你按照小慧同学的解题思路，写出说理过程．
【类比分析】
（2）为了帮助学生更好的体会这种方法，李老师把线段问题改成了角有关的问题，请你解答．
如图2， $∠ A O B = 60 °$ ，射线 $O C$ 在 $∠ A O B$ 内部，将射线 $O C$ 绕 $O$ 点逆时针旋转120°得到射线 $O D$ （即 $∠ C O D = 120 °$ ）， $O E$ 平分 $∠ B O D$ ．探究 $∠ E O B$ 与 $∠ A O C$ 的数量关系，并说明理由．
【学以致用】
（3）如图3，点 $O$ 是直线 $A B$ 上一点，射线 $O C$ 在直线 $A B$ 上方，且 $∠ A O C = 80 °$ ，射线 $O D$ ， $O E$ ， $O F$ 与射线 $O C$ 位于直线 $A B$ 的同侧， $∠ A O E$ 与 $∠ C O D$ 互补， $O F$ 平分 $∠ C O E$ ．请直接写出 $∠ D O F$ 与 $∠ C O D$ 之间的数量关系．

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2、2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会.在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从 $A$ 地出发，在东西方向公路上检修线路.如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位： $km$ ）： $- 5$ ， $+ 8$ ， $- 4$ ， $+ 7$ ， $- 10$ ， $+ 6$ ．

(1)、检修小组最终停在距A地多远的地方？

(2)、若汽车每千米耗油0.15升，当天从出发到收工回到 $A$ 地共耗油多少升？若油价为8元/升，该检修小组这一天的油费是多少？

(3)、若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶 $100 km$ 耗电12度，且使用充电桩充电的价格是每度电1.5元，那么该汽车这天的耗电费用约为多少元？

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3、某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表：

一次性购物金额	优惠办法
不超过200元	不予优惠
超过200元但不超过400元	超过200元的部分给予9折优惠
超过400元	超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠超过400元的部分给予8折优惠

(1)、若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款________元；

若一次购买原价600元的商品，他实际付款________元；

(2)、如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？

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4、已知长方形 $A$ 和 $B$ 的长和宽如图所示：

(1)、填空：长方形 $A$ 与 $B$ 的周长之和为_________．（结果用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示并化到最简）

(2)、若 $a - b = 5$ ，求长方形 $A$ 与 $B$ 的面积差．

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5、解答下列问题

(1)、计算： $- 1^{2025} + |- 3| \times (- \frac{4}{3}) - 25 \div (- 5)$ ．

(2)、我们定义一种新运算： $a * b = a - b + a \times b + 1$ ，求 $4 * (- 3)$ 的值．

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6、已知有理数a、b互为相反数，且 $a \neq 0$ ， c、d互为倒数，有理数e是绝对值最小的数，求 $\frac{a}{b} - 2 c d + e^{2} + \frac{a + b}{2}$ 的值．

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7、先化简，再求值： $- 3 (2 a - b) - 2 (4 a + \frac{1}{2} b) + 1$ ，其中 $a = 1$ ， $b = - 3$

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8、如图，P、Q两点将线段 $A B$ 分成了1：2：6的三个部分，点G是线段 $A B$ 的中点， $Q G = 3$ ，则线段 $A B$ 的长为．

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9、如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最大，则积最大是

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10、若 $4 x^{m} y^{3}$ 与 $- 3 x^{2} y^{n}$ 是同类项，则 $m + n =$ ．

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11、王博在做课外习题时遇到这样的一道题： $|- 3 + •| - (- 8)$ ，其中●是被涂损而看不清的一个数，他翻开答案后得知该题的计算结果为15，则●表示的数是（）

A、10 B、 $- 4$ 或 $- 10$ C、 $- 10$ D、10或 $- 4$

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12、从海岛 $A$ 点观察海上两艘轮船 $B$ 、 $C$ ．轮船 $B$ 在点 $A$ 的北偏东 $60 ° 2 5^{'}$ 方向；轮船 $C$ 在点 $A$ 的南偏东 $15 ° 3 7^{'}$ 方向，则 $∠ B A C =$ （）

A、 $103 ° 5 8^{'}$ B、 $75 ° 5 8^{'}$ C、 $78 ° 5 7^{'}$ D、 $103 ° 5 2^{'}$

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13、下列各项中，去括号正确的是（）

A、 $4 (2 x y - y^{2}) = 8 x y - 4 y^{2}$ B、 $- (2 x - y + 2) = - 2 x - y + 2$ C、 $- 3 (m + n) = - 3 m - n$ D、 $5 (- a^{2} + 3 a + 1) = - 5 a^{2} + 15 a$

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14、下列方程中，解为 $x = 2$ 的是（）

A、 $3 x + 6 = 0$ B、 $3 x - 2 = 4$ C、 $2 x + 3 = - 7$ D、 $x - 3 = 5$

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15、2026年全国普通高校毕业生规模预计达到1593万人，将15930000用科学记数法表示应为（）

A、 $1.593 \times 10^{7}$ B、 $15.93 \times 10^{6}$ C、 $1.593 \times 10^{8}$ D、 $0.1593 \times 10^{8}$

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16、单项式 $- \frac{2 π x^{2} y}{7}$ 的系数是（）

A、 $- \frac{2}{7}$ B、 $- 2 π$ C、 $- \frac{2 π}{7}$ D、 $- 2$

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17、如图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（）

A、棱柱 B、球 C、圆柱 D、圆锥

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18、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $E, F$ 分别为 $A C, A B$ 上的点，连接 $A D, D E, E F, F D$ ．
【探究发现】
（1）如图①，若 $A B = B C$ ， $F$ 为 $A B$ 的中点， $∠ E D F = 60 °$ ，求证： $A B = A F + A E$ ；
【类比猜想】
（2）如图②，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ E D F = 90 °$ ，试说明 $A B, A E, A F$ 之间的数量关系；
【拓展延伸】
（3）如图③，若 $∠ B A C = 120 °$ ， $∠ E D F = 60 °$ ， $A E + A F = 12$ ，求 $A B$ 的长度．

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19、（1）【观察】 $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ； $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ； $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
【猜想】若 $n$ 为正整数，请你猜想第 $n$ 个等式（用含 $n$ 的式子表示），并证明．
（2）【拓展】
①利用你发现的规律计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2025 \times 2026}$ ；
②利用上述规律解答：若 $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n (2 n + 2)}$ 的值为 $\frac{25}{104}$ ，求n的值．

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20、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于 $D$ ， $A E ∥ B C$ 交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ， $A F ⊥ A B$ 交 $B E$ 于点 $F$ ．

(1)、若 $∠ B A C = 40 °$ ．求 $∠ A F E$ 的度数；

(2)、若 $A D = C D$ ， $A F = 2$ ，求 $B F$ 的长．

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