相关试卷

1、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A、7，8，9 B、4，5，6 C、5，12，13 D、8，9，10

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2、综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，将线段 $B C$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B D$ ，作 $D E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点E．

(1)、【观察感知】
如图2，通过观察，线段 $A B$ 与 $D E$ 的数量关系是；

(2)、【问题解决】
如图3，连接 $C D$ 并延长交 $A B$ 的延长线于点F，若 $A B = 2$ ， $A C = 6$ ，求 $△ B D F$ 的面积；

(3)、【类比迁移】
在（2）的条件下，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点N，则 $\frac{B N}{B C} =$ ；

(4)、【拓展延伸】
在（2）的条件下，在直线 $A B$ 上找点P，使 $\tan ∠ B C P = \frac{1}{3}$ ，请直接写出线段 $B P$ 的长度．

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3、阅读下列材料，并完成相应学习任务：
古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律．

学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：

(1)、根据此规律可知第 $n$ 个三角形数是____________；（用含 $n$ 的代数式表示）

(2)、请判断 $78$ 是第几个三角形数？写出解答过程；

(3)、若相邻两个三角形数的和是 $121$ ，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果．

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4、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ ．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、若 $△ A B C$ 的两边 $A B$ ， $A C$ 的长是这个方程的两个实数根，第三边 $B C$ 的长为5，
①若 $k = 3$ 时，请判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由；
②若 $△ A B C$ 是等腰三角形，求等腰三角形的周长．

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5、如图6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形 $A B C$ 中，若小正方形的边长为1，则：（1） $\tan B =$ ；（2） $B C =$ ．

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6、关于x的方程

x (x - 1) = 3 (x - 1)

，下列解法完全正确的是（）

甲

乙

丙

丁

两边同时除以 $(x - 1)$ 得到 $x = 3$ ．

移项得：

$x (x - 1) - 3 (x - 1) = 0$ ，

∴ $(x - 1) (x - 3) = 0$ ，

∴ $x - 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$ ，

∴ $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ ．

整理得 $x^{2} - 4 x = - 3$

∵ $a = 1$ ， $b = - 4$ ， $c = - 3$ ，

∴ $Δ = b^{2} - 4 a c = 28$

∴ $x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

∴ $x_{1} = 2 + \sqrt{7}$ ， $x_{2} = 2 - \sqrt{7}$ ．

整理得 $x^{2} - 4 x = - 3$

配方得：

$x^{2} - 4 x + 4 = 1$ ，

∴ ${(x - 2)}^{2} = 1$ ，

∴ $x - 2 = \pm 1$ ，

∴ $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ ．

A、甲和乙 B、乙和丙 C、乙和丁 D、甲和丁

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7、如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长 $5 m$ 的竹竿 $A C$ 斜靠在石坝旁，量出杆长 $1 m$ 处的 $D$ 点离地面的高度 $D E = 0.6 m$ ，又量得杆底与坝脚的距离 $A B = 3 m$ ，则石坝的坡度为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、3 C、 $\frac{3}{5}$ D、4

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8、如图、在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 16$ ，点P从A开始沿 $A B$ 边向点B以2个单位 $/$ 秒的速度移动，点Q从点B开始沿 $B C$ 边向点C以4个单位 $/$ 秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（）秒后， $△ P B Q$ 与 $△ A B C$ 相似．

A、2 B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ 或2 D、 $\frac{5}{4}$ 或2

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9、在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（）

A、只有（1）中的与△ABC相似 B、只有（2）中的与△ABC相似 C、都与△ABC相似 D、都与△ABC不相似

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10、用配方法解方程 $x^{2} - 6 x - 1 = 0$ 时，配方后正确的是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 10$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 10$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 1$

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11、已知线段b是线段 $a$ 、c的比例中项，且 $a : b = 2 : 3$ ，那么b：c的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{9}{4}$

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12、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，则 $\sin A$ 等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, A C = 13, B A = 5$ ，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 $C - A - B$ 运动．设点P的运动时间为 $t (t > 0)$ ．

(1)、 $B C =$              ．

(2)、求斜边 $A C$ 上的高线长．

(3)、①当P在 $A B$ 上时， $A P$ 的长为             ， t的取值范围是                ．（用含t的代数式表示）
②若点P在 $∠ B C A$ 的角平分线上，则t的值为              ．

(4)、在整个运动过程中，直接写出 $△ P A B$ 是以 $A B$ 为一腰的等腰三角形时t的值．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．

(1)、如图1，若 $A B = A C$ ，求证： $△ E B C ≌ △ D C B$ ；

(2)、如图2，点 $F$ 为 $B C$ 边上的中点，连接 $D F$ 、 $E F$ 、 $D E$ ，试判断 $△ D E F$ 的形状，并说明理由；

(3)、在(2)的条件下，若 $∠ E B C + ∠ D C B = 60 °$ ， $D E = 6$ ，求 $△ D E F$ 的周长．

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15、已知：方格纸中的每个小方格都是边长为 $1$ 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，点 $C$ 的坐标为 $(4, - 1)$ ．

(1)、请以 $x$ 轴为对称轴，画出与 $△ A B C$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、点 $P (a + 1, b - 1)$ 与点 $C$ 关于 $y$ 轴对称，则 $a =$ ， $b =$ ．

(3)、如果要使 $△ A B D$ 与 $△ A B C$ 全等，那么点 $D$ 的坐标是．

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16、解下列不等式（组），并在数轴上表示出来：

(1)、 $2 x - 11 \geq 4 (x - 3) + 3$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 > 1 \\ \frac{2 x - 1}{3} > x - 2 \end{array}$ ．

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17、将点 $P (- 3, - 1)$ 向左平移2个单位，向下平移3个单位，后得到点 $Q (x, y)$ ，则平移后点 $Q$ 的坐标．

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18、下列命题中，是假命题的是（　　）

A、直角三角形的两个锐角互余 B、全等三角形的对应边相等 C、两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 D、对顶角相等

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19、如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽 $A B$ 与桥长 $C D$ 均为24米，桥拱顶部 $O$ 离水面的距离为8米，以桥拱顶部 $O$ 为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．

(1)、求圆弧型桥拱所在圆的半径；

(2)、如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱 $C G$ ， $O H$ ， $D I$ ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米．
①求出 $y$ 轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 上一动点，连接 $C D$ ，以 $C D$ 为直径的 $⊙ M$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，连接 $B M$ 并延长交 $A C$ 于点 $F$ ，交 $⊙ M$ 于点 $G$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求证：点 $B$ 在 $⊙ M$ 上．

(2)、当点 $D$ 移动到使 $C D ⊥ B E$ 时，求 $B C : B D$ 的值．

(3)、当点 $D$ 到移动到使 $\overset{⌢}{C G} = 30 °$ 时，求证： $A E^{2} + C F^{2} = E F^{2}$ ．

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