相关试卷

1、下列计算正确的是（）

A、 $7 a + a = 7 a^{2}$ B、 $5 y - 3 y = 2$ C、 $3 a + 2 b = 5 a b$ D、 $n m^{2} - 2 m^{2} n = - m^{2} n$

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2、【背景】嘉嘉所在学校的数学兴趣小组正在进行一次户外测量实践活动．他们来到了一片空地，发现了一个特殊的三角形区域，这个区域形状恰好是一个直角三角形．为了进一步研究这块区域，嘉嘉和兴趣小组的同学进行了一系列标注、测量．
【发现】在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，嘉嘉突发奇想，以 $A E$ 为直径作了一个 $⊙ O$ ，如图所示．
【问题】嘉嘉和兴趣小组的同学遇到了几个问题，需要你的帮助：

(1)、猜想：直线 $C D$ 与以 $A E$ 为直径的 $⊙ O$ 相切，请证明这个猜想；

(2)、若 $A C = 3, B C = 3 \sqrt{3}$ ．求 $B E$ 的长度；

(3)、在（2）的条件下，计算图中阴影部分的面积是多少？

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3、千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易．
【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x．（ $x \geq 4$ ）厘米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据．
x（厘米）
4
12
20
24
28
36
y（斤）
0
1
2
2.5
3
4
【问题解决】

(1)、在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来．

(2)、根据（1）描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由．

(3)、已知杆秤的设计利用了杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，设秤砣质量为 $m_{1}$ 斤，称钩质量为 $m_{2}$ 斤，秤钩到称纽距离为 $l_{1}$ 厘米，则当钩上不放重物时： $4 m_{1} = m_{2} l_{1}$ ，挂物重为y斤时： $m_{1} x = (m_{2} + y) l_{1}$ ，
则由上面两个等式进行变形可以得到 $y =___x +$ ，（横线上填关于 $m_{1}$ ， $l_{1}$ 的代数式）
根据上式和（2）的结论，当秤砣质量为0.3斤时，求秤钩到称纽距离应该为多少厘米？

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4、【定义】
点 $M ， N ， P$ 在同一直线上，当点 $P$ 满足 $P M = 2 P N$ 或 $P N = 2 P M$ 时，则称点 $P$ 是点 $M ， N$ 的“倍点”．
【理解】
（ $1$ ）若点 $A ， B ， P$ 在数轴上表示的数分别为 $- 1$ ， $1$ ， $3$ ，则点 $P$ 是否为点 $A ， B$ 的“倍点”？________（填“是”或“否”）
（ $2$ ）如图 $1$ ，点 $C ， D$ 在数轴上对应的数分别为 $- 4$ ， $5$ ，点 $P$ 是数轴上的一个动点，从原点 $O$ 出发，以 $1$ 个单位/秒的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为 $t$ 秒：
①点 $P$ 对应的数为________； $P C =$ ________（请用含 $t$ 的代数式表示）；
②当运动时间 $t$ 为何值时，点 $P$ 恰好是点 $C ， D$ 的“倍点”？请求出符合条件的 $t$ 值．
【拓展】
（ $3$ ）小明和小颖同时从公园入口 $F$ 出发，沿笔直道路骑行至指定点 $G$ （如图 $2$ ），骑行速度开始均为 $5 m/s$ ， $F ， G$ 间距离为 $900 m$ ．当骑行至道路上的自助售货机 $E$ 处时，小明停下来买矿泉水，停留 $20 s$ 后，以 $6 m/s$ 的速度继续骑行，最终两人同时到达 $G$ 点．请求出 $E F$ 的长度，同时判断自助售货机 $E$ 处是否为点 $F ， G$ 的“倍点”，并说明理由．

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5、综合与实践
【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度．
【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方法估计已使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长？
【方法一：称重法】
欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量 $M = 50.9 g$ ，并称出同款已用完全部缎带后的中心纸筒的质量 $m_{0} = 14.9 g$ ．
（1）已知缎带净重 $m =$ 总质量 $M -$ 中心纸筒的质量 $m_{0}$ ，则这卷缎带的净重m是________g；
（2）剪下一段长度为 $L_{0} = 1 m$ 的缎带，称出其质量 $m_{1} = 1.8 g$ ．假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是多少米？
【方法二：等体积法】
一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为 $8 cm$ ，内直径为 $6 cm$ （不包括中心纸筒）．然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图3）．由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为 $0.3 cm$ ．
（3）为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度d为________ $cm$ ；
（4）若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米？（π的值取3）

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6、如图，射线 $O C$ 的端点O在直线 $A B$ 上， $O D$ 是 $∠ B O C$ 的角平分线．

(1)、若 $∠ A O C = 30 °$ ，请求出 $∠ A O D$ 的度数．

(2)、尺规作图：以点O为顶点，射线 $O B$ 为一边，在 $∠ B O D$ 内部，作 $∠ B O E = ∠ A O C$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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7、某校七（1）班开展“周末实践”活动，设置了A．社区服务，B．家庭劳动，C．体育健康，D．社会调查四大实践主题．现对该七（1）班全班学生的周末实践主题进行统计，根据统计结果绘制成如图1和图2所示的两个统计图．请按相关要求解答下列问题：

(1)、该校七（1）班全班学生的人数是________人；

(2)、请在图1中补全该调查结果的条形统计图；

(3)、若该校七年级共有700名学生，请估计选择“D．社会调查”的学生人数是多少？

(4)、从统计图中分析，该校七年级学生选择“D．社会调查”的人数明显少于其他三类主题的人数．请你合理分析，并简述出现上述现象的原因．

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8、先化简，再求值 $3 x y - (5 x y - x^{2} y) + 2 (x y + \frac{1}{2} x^{2} y)$ ，其中 $x = 1$ ， $y = \frac{1}{2}$ ．

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9、计算：

(1)、 $(+ 7) + (- 13) - (- 8)$ ；

(2)、 ${(- 1)}^{2026} + (\frac{2}{3} - \frac{1}{5}) \times (- 15)$ ．

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10、杨老师带着若干名同学去深圳湾进行拍摄，如图，A，B，C依次是一段笔直道路上的三个拍摄点，每个拍摄点分别安排2，1，k（ $k > 0$ ）人．杨老师要在 $A C$ 这段道路上选一个合影点使得所有同学到合影点的距离之和最小，若满足条件的合影点在 $B C$ 上的任意一处都符合（包括点B，点C），则k的值为．

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11、如图，点 $C ， D ， E ， F$ 分别是线段 $A B$ 上的点．若点 $C$ 是 $A D$ 的中点，点 $F$ 是 $E B$ 的中点， $A B = 10$ ， $D E = 2$ ，则 $C F$ 的长度为．

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12、如图是一个正方体的平面展开图，将其折叠成正方体后，与“先”字所在面相对的面上的字是．

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13、请写出 $3 a b^{2}$ 的一个同类项．

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14、在一个圆周上取若干个点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，可以将圆分割成若干个不重叠的区域．如图所示：当圆周上有 $2$ 个点时，圆被分成 $2$ 个区域；当圆周上有 $3$ 个点时，圆被分成 $4$ 个区域 $\dots$ ，当圆周上有 $n$ （ $n > 1$ ）个点时，圆被分成的区域个数为（）

A、 $n + 2$ B、 $n + 3$ C、 $2 n - 2$ D、 $2^{n - 1}$

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15、在校园安全建设中，需对校园井盖（如图1）周边做防滑彩绘，井盖是半径为r的圆，彩绘外边界是边长为a的正方形（如图2），用含a，r的代数式表示防滑彩绘（阴影部分）的面积为（）

A、 $a^{2}$ B、 $π r^{2}$ C、 $a^{2} - π r^{2}$ D、 $a^{2} + π r^{2}$

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16、宋代诗人邵雍在《春雨吟》中写道“春雨细如丝，如丝霡霂时”，这里把雨滴看成了点，通过“如”字将春雨比作丝线，用数学知识解释这一现象为（）

A、点动成线 B、线动成面 C、面动成体 D、面与面相交得到线

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17、斗笠是中国传统器物，兼具实用与文化价值．观察下图中的斗笠几何体，从正面看它的形状图是（     ）


A、    B、    C、    D、

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18、中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若超过警戒水位6m记作“ $+ 6 m$ ”，则低于警戒水位 $4m$ ，可以记作（）

A、 $4m$ B、 $- 4 m$ C、 $\frac{1}{4} m$ D、 $2m$

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19、【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若 $x + y = 3, x^{2} + y^{2} = 5$ ，则 $x y =$ ；
（2）若 $x$ 满足 ${(2028 - x)}^{2} + {(2025 - x)}^{2} = 2028$ ，则 $(2028 - x) (2025 - x) =$ ；
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（ $∠ A O B = ∠ C O D = 90 °$ ）如图2所示放置，其中 $A, O, D$ 在一直线上，连接 $A C, B D$ ．若 $A D = 8, S_{△ A O C} + S_{△ B O D} = 18$ ，求一块直角三角板的面积．

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20、我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解．
例如： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 16 = {(x - y)}^{2} - 16 = (x - y + 4) (x - y - 4)$
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式 $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y$ ；
（2） $△ A B C$ 三边a，b，c满足 $a^{2} - b^{2} - a c + b c = 0$ 判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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x（厘米）	4	12	20	24	28	36
y（斤）	0	1	2	2.5	3	4