相关试卷

1、如图，在矩形 $A B C D$ 中，以 $A$ 为圆心， $A D$ 长为半径作弧，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ， $D E$ ．

(1)、如图1，若 $E C = 1$ ， $D C = 3$ ，求 $A D$ 的长．

(2)、如图2，分别以 $A$ ， $E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A E$ 长为半径作弧，两弧交于 $P$ ， $Q$ ，作直线 $P Q$ 交 $A E$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，连接 $A G$ ．求证： $∠ A G B = 4 ∠ E D C$ ．

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2、小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：

\sqrt{x} \approx \frac{x + a^{2}}{2 a}

（其中

a^{2}

是与

x

接近的完全平方数，且

a > 0

）其推理过程见下图．

推理过程：

$∵ (\sqrt{x} - a) (\sqrt{x} + a) = x - a^{2} ，$

$∴ \sqrt{x} - a = \frac{x - a^{2}}{\sqrt{x} + a}$

$∴ \sqrt{x} = \frac{x - a^{2}}{\sqrt{x} + a} + a$

若 $x$ 接近于 $a^{2}$ ，则有 $\sqrt{x} \approx a$ ，

$∴ \sqrt{x} \approx \frac{x - a^{2}}{2 a} + a = \frac{x + a^{2}}{2 a}$ ．

例如，估算 $\sqrt{5}$ 的近似值，此时 $x = 5$ ，取 $a^{2} = 4$ ，即 $a = 2$ ，则 $\sqrt{5} \approx \frac{5 + 4}{2 \times 2} = \frac{9}{4}$ ．

(1)、请用上述方法估算

\sqrt{26}

的值．

(2)、在估算

\sqrt{42}

近似值时，小金发现

a

取6或7，所得估值都相同．

①请验证小金的发现．

②求 $a$ 取13或14时，所得近似值相同的无理数 $\sqrt{x}$ ．

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3、某校为调查九年级学生跳绳情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并绘制统计表如下：
分组
$149.5 ~ 159.5$
$159.5 ~ 169.5$
$169.5 ~ 179.5$
$179.5 ~ 189.5$
$189.5 ~ 199.5$
$199.5 ~ 209.5$
频数
2
5
8
20
$a$
5
频率
0.04
0.1
0.16
$b$
0.2
0.1
根据相关信息，回答下列问题．

(1)、求表中 $a, b$ 的值， $b$ 的实际含义是什么？

(2)、根据1分钟跳绳不低于180次为优秀，该校九年级共680人，请估算优秀学生总人数．

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4、求不等式组 ${\begin{cases} 3 x - 1 < 5, \\ 2 x + 6 > 0 \end{cases}$ 的解集．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，且点 $A^{'}$ 落在边 $B C$ 上，连接 $C C^{'}$ ．若 $C C^{'} = C A^{'}$ ，则 $∠ A B C$ 的度数是．

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6、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $A C = 6$ ， $B D = 4$ ，则 $tan ∠ D A O$ 的值为．

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7、计算： $(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) =$ ．

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8、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = B C, ∠ A C B = 90 °$ ．点 $P$ 从 $A$ 出发，沿 $A C - C B$ 向终点 $B$ 运动，过 $P$ 作 $P Q ⊥ A B$ 于点 $Q$ ，连接 $C Q$ ．设点 $P$ 的运动路径长为 $x (0 \leq x \leq 8), △ A P Q$ 的面积为 $y_{1}$ ， $△ P Q C$ 的面积为 $y_{2}, y_{1}, y_{2}$ 关于 $x$ 的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（）

A、 $A C = 4$ B、点 $(7, 2)$ 在 $y_{1}$ 函数图象上 C、 $y_{1}$ 的最大值为4 D、当 $x = 2$ 时， $y_{1} = y_{2} = 1$

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9、如图， $△ A O B$ 的两点 $A, B$ 在反比例函数 $y = \frac{12}{x} (x > 0)$ 的图象上，过 $B$ 作 $B D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ，交 $O A$ 于点 $E$ ．若 $E$ 为 $A O$ 的中点，则 $△ A E B$ 的面积是（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、6 D、5

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10、如图，五边形 $A B C D E$ 与五边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ 是位似图形， $O$ 为位似中心．若 $A A^{'} = 2 A^{'} O$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ A^{'} B^{'} C^{'}$ B、 $B C ∥ B^{'} C^{'}$ C、 $D D^{'} = 2 D^{'} O$ D、 $B C = 2 B^{'} C^{'}$

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11、将一副三角板按如图所示的方法摆放，点 $D$ 在 $B C$ 上， $∠ A = 45 °, ∠ E = 60 °$ ．若斜边 $A B ∥ E F$ ，则 $∠ E D B$ 的度数是（）

A、 $60 °$ B、 $65 °$ C、 $72 °$ D、 $75 °$

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12、如图是小明5次射击成绩统计图，则这5次成绩的众数为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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13、下列图标中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、某班体育委员的抽屉里有5个乒乓球，其中有三个是白色的，两个是黄色的，上体育课的时候，他随手从抽屉里同时拿了两个乒乓球，则他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的概率为（）．

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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15、如图 $1, Q P / / M N$ ，点 $A, B$ 分别在直线 $M N, P Q$ 上，射线 $A C$ 绕点 $A$ 从射线 $A M$ 顺时针旋转至射线 $A N$ 后便立即回转，这样不停来回旋转；射线 $B D$ 绕点 $B$ 从射线 $B Q$ 逆时针旋转至射线 $B P$ 后停止。若两条射线同时转动 45 秒，则射线 $A C$ 与射线 $B D$ 恰好成一直线。射线 $A C$ 转动的速度是 $a^{\circ} /$ 秒，射线 $B D$ 转动的速度是b°/ 秒，且 $a, b$ 是方程 $a + 3 b = 6$ 的正整数解。

(1)、 $a =$ ， $b =$ ； $∠ B A N =$

(2)、如图 2，两条射线同时转动，在射线 $A C$ 到达 $A N$ 之前，若两条射线交于点 $E$ ，且 $A C ⟂ B D$ ，求此时 $∠ B A C$ 的度数。

(3)、若射线 $B D$ 先转动 20 秒，射线 $A C$ 才开始转动，在射线 $B D$ 到达 $B P$ 之前，射线 $A C$ 转动匹秒时与射线 $B D$ 互相平行？

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16、将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多数学问题。
例如：若 $a + b = 3, a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值。
解：因为 $a + b = 3, a b = 1$ ，所以 $(a + b)^{2} = 9, a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9, 2 a b = 2$ ，可得 $a^{2} + b^{2} = 7$ 。根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、若 $x - y = 7, x y = 9$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值；

(2)、若 $x$ 满足 $(2025 - x)^{2} + (2026 - x)^{2} = 25$ ，求 $(2025 - x) (2026 - x)$ 的值；

(3)、如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $D E F G$ 的顶点 $A, D, E$ 在一条直线上，两正方形的面积和是61 ，若 $A E = 11$ ，求图中阴影部分的面积。

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17、2025年，“浙BA”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地。“浙把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口。一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元。

(1)、请你求出 $A, B$ 两款门票的价格；

(2)、某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费 360 元购买 $A, B$ 两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案。

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18、如图，已知 $A B / / C F, ∠ C D E = ∠ A B F, E G$ 平分 $∠ D E B$ 交 $A B$ 于点 $G$ 。

(1)、 $B F$ 与 $D E$ 是否平行？请说明理由。

(2)、若 $∠ C D E = 25^{\circ}, ∠ E B F = 40^{\circ}$ ，求 $∠ E G B$ 的度数。

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19、小马与小虎两人共同计算 $(2 x + a) (3 x + b)$ ，小马抄错为 $(2 x - a) (3 x + b)$ ，得到的结果为 $6 x^{2} - 13 x + 6$ ，小虎抄错为 $(2 x + a) (x + b)$ ，得到的结果为 $2 x^{2} - x - 6$ 。

(1)、原算式中的 $a, b$ 的值各是多少？

(2)、请你计算出原题的正确答案。

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20、如图，已知直线 $A B, C D$ 相交于点 $O, O E ⟂ A B, O$ 为垂足， $C D$ 平分 $∠ B O F$ 。

(1)、若 $∠ A O D = 62^{\circ}$ ，求 $∠ E O F$ 的度数；

(2)、若 $∠ A O D : ∠ E O F = 3 : 1$ ，求 $∠ C O E$ 的度数。

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分组	$149.5 ~ 159.5$	$159.5 ~ 169.5$	$169.5 ~ 179.5$	$179.5 ~ 189.5$	$189.5 ~ 199.5$	$199.5 ~ 209.5$
频数	2	5	8	20	$a$	5
频率	0.04	0.1	0.16	$b$	0.2	0.1