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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} (x + \frac{π}{4}) - \sqrt{3} \cos 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间；

(2)、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若 $f (\frac{C}{2} - \frac{π}{12}) = 1 - \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值，及此时a、b的值．

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2、如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ，点E在 $C C_{1}$ 上且 $C_{1} E = 3 E C$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ B D$ ；

(2)、求点B到平面 $A_{1} D E$ 的距离；

(3)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} D E$ 所成角的正弦值．

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3、（1）一条光线从点 $M (5, 2)$ 射出，遇 $y = x + 1$ 反射，反射光线所在直线的倾斜角为 $α$ ，若 $\cos α = - \frac{4}{5}$ ，求反射光线所在直线方程；
（2） $△ M N P$ 的三个顶点分别是 $M (5, 2)$ ， $N (1, 6)$ ， $P (- 1, 4)$ ，求 $△ M N P$ 的外接圆的方程．

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4、在四面体ABCD中， $A B = C D = 2 \sqrt{5}$ ， $A D = B C = \sqrt{13}$ ， $A C = B D = 5$ ， M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段 $M N$ 长度的最小值为．

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5、已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若 $\vec{P A} = x \vec{P B} + 2 y \vec{P C} + \frac{1}{3} \vec{P D}$ 且 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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6、已知直线l的方程为 $(m + 1) x + (2 m - 1) y + 3 = 0$ ，则直线l过定点.

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7、在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{μ} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，点 $P (x, y, z)$ ．
（1）若直线l经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{μ}$ 方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ；
（2）若平面 $α$ 经过最 $P_{0}$ ，且以 $\vec{μ}$ 为法向量，P是平面 $α$ 内的任意一点，则平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ．
如图，一在棱长为1的正方体 $O B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A、平面 $O B_{1} C$ 的法向量为 $(1, - 1, - 1)$ B、直线 $B D_{1}$ 的方程为 $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ C、过点 $B_{1}$ 的平面 $α$ 方程为 $- (x - 1) + y + (z - 1) = 0$ ，则平面 $α$ 截正方体 $O B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面的面积为 $\sqrt{3}$ D、平面 $α$ 方程为 $- (x - 1) + y + (z - 1) = 0$ ，平面 $β$ 方程为 $- x + y + (z - 1) = 0$ ，则平面 $α$ 与平面 $β$ 之间的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、已知直线 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2π}{3}$ 为函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ）图象上两条相邻的对称轴．则下列说法正确的是（）

A、 $f (\frac{5π}{12}) = 0$ B、 $ω = 2$ C、若 $0 < φ < \frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 图象可以由 $y = \cos ω x$ 图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到 D、若 $0 < φ < \frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[\frac{5π}{12}, \frac{2π}{3}]$ 上的值域为 $[- 1, 0]$

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9、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是（）

A、 $A = \frac{π}{4}$ ， $b = 1$ ， $c = 2$ B、 $B = \frac{2π}{3}$ ， $b = 1$ ， $c = 2$ C、 $A = \frac{π}{6}$ ， $b = 3$ ， $a = \sqrt{3}$ D、 $B = \frac{π}{4}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $a = 2$

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10、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \leq 0 \\ |x - \frac{1}{x}|, x > 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) + (m - 4) f (x) + 2 (2 - m) = 0$ 有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）

A、 $[1, 3)$ B、 $[1, 2)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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11、已知实数x，y满足 $y = \frac{1}{5} x - \frac{3}{5}$ ，且 $- 2 \leq x \leq 3$ ，则 $\frac{y - 3}{x + 1}$ 不可能是（）

A、－3 B、－4 C、3 D、4

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{8} (x^{2} - a x + 1), x \geq 1, \\ - x^{2} + 2 a x - 2 a, x < 1 \end{array}$ 在R上单调递增，则a的取值范围是（）

A、 $[1, \frac{15}{8}]$ B、 $[\frac{15}{8}, 2]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[1, 2)$

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13、直线l： $\sin θ \cdot x - y + 8 = 0$ （ $θ$ 参数， $θ \in R$ ）的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{π}{4}]$ B、 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3π}{4}, π)$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3π}{4}]$ D、 $(- \infty, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3π}{4}, + \infty)$

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14、已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的平均数 $\bar{x} = 4$ ，方差 $s^{2} = 5$ ，则数据 $4 x_{1} + 2, 4 x_{2} + 2, \cdot \cdot \cdot, 4 x_{n} + 2$ 的平均数、方差分别为（）

A、16，20 B、16，80 C、18，20 D、18，80

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15、下列结论中，错误的结论有（）

A、 $y = x (4 - 3 x)$ 取得最大值时 $x$ 的值为 $1$ B、若 $x < - 1$ ，则 $x + \frac{1}{x + 1}$ 的最大值为 $- 2$ C、函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为 $2$ D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，那么 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$

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16、高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是（）

A、3 B、4 C、5 D、9

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17、若 $y = f (x)$ 为定义在 $D$ 上的函数，且 $D$ 关于原点对称，则“存在 $x_{0} \in D$ ，使得 ${[f (- x_{0})]}^{2} \neq {[f (x_{0})]}^{2}$ ”是“函数 $y = f (x)$ 为非奇非偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、对于数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ ，如果存在正整数 $n_{0} \geq 3$ ，当任意正整数 $n \leq n_{0}$ 时均有 $b_{1} < a_{1} < b_{2} < a_{2} < \dots < a_{n - 1} < b_{n} < a_{n}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的“ $n_{0}$ 项递增相伴数列”．若 $n_{0}$ 可取任意的正整数，则称 $\{a_{n}\}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的“无限递增相伴数列”．

(1)、已知 $b_{n} = 2^{n}$ ，请写出一个数列 $\{b_{n}\}$ 的“无限递增相伴数列 $\{a_{n}\}$ ”，并说明理由？

(2)、若 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} + b_{n} = 6 n - 2$ ，其中 $\{b_{n}\}$ 是首项 $b_{1} = 1$ 的等差数列，当 $\{a_{n}\}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的“无限递增相伴数列”时，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(3)、已知等差数列 $\{b_{n}\}$ 和正整数等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n} = k^{2024 - n} {(k + 1)}^{n - 1} (n = 1, 2, \dots, 2024)$ ，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得 $\{a_{n}\}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的“2024项递增相伴数列”．

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19、已知函数 $f (x) = 1 - x [{(\ln x)}^{a} - x], a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = \frac{1}{e}$ 处切线的斜率为 $\frac{2}{e}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = 2$ 时， $\forall x \in [1, + \infty), f (x) - m x \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值；

(3)、当 $a = 2$ 时，证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{\sqrt{{(2 i)}^{2} - 1}} > \ln (2 n + 1), n \in N^{*} .$

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20、如图1，在五边形 $A B C D E$ 中， $A B = B D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $E A = E D$ 且 $E A ⊥ E D$ ，将 $△ A E D$ 沿 $A D$ 折成图2，使得 $E B = A B$ ， $F$ 为 $A E$ 的中点．

(1)、证明： $B F //$ 平面 $E C D$ ；

(2)、若 $E B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $30 °$ ，求二面角 $A - E B - D$ 的正弦值．

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