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相关试卷

1、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，如 $[3.24] = 3, [- 1.5] = - 2$ .设函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 的最大值为1，没有最小值 C、 $f (\sqrt{6}) + f (\sqrt{13}) > 1$ D、 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数

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2、下列四个结论中，正确的结论是（）

A、 $y = \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 - x}$ 与 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 表示同一个函数． B、“ $1 < x < 3$ ”的充分不必要条件是“ $0 \leq x \leq 4$ ”． C、已知 $2 < a < 3, - 2 < b < - 1$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围的取值范围是 $(- 3, - 1)$ ． D、函数 $y = x + \sqrt{x - 1}$ 的值域为 $[\frac{3}{4}, + \infty)$ ．

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3、给出下列四个命题，其中正确命题的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ ； B、若 $a^{2} x > a^{2} y$ ，则 $x > y$ ； C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ ； D、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则 $a b < b^{2}$ .

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 且 $f （ 2 ） = 4$ ，则不等式 $f (x) \geq 4$ 的解集为（）

A、 $[- 2 ， 0) \cup [2, + \infty)$ B、 $[- 2 ， 0) \cup (0 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 2]\cup[2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup (0, 2]$

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5、若命题“对任意 $x \in (- \infty, 0)$ ，使得 $x^{2} - 2 a x + 4 \geq 0$ 成立”是真命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 2, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2]$ D、 $(- \infty, 2]$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} f (x - 2), x \geq 0 \\ 2 x^{2} - 3 x, x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、 $14$ B、 $5$ C、1 D、 $- 1$

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7、函数 $y = \frac{\sqrt{4 - |x|}}{x}$ 的定义域是（）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- 2, 0) \cup (0, 2]$ D、 $[- 4, 0) \cup (0, 4]$

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8、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 5\}$ ， $B = \{x |x \geq 0\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为

A、 $\{x |- 1 < x < 0\}$ B、 $\{x |0 < x < 5\}$ C、 $\{x |0 \leq x < 5\}$ D、 $\{x |x > - 1\}$

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9、为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.

(1)、求 $m$ 的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.

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10、已知一组数据： $3, 5, 7, x, 9$ 的平均数为6，则该组数据的 $40 %$ 分位数为（）

A、4.5 B、5 C、5.5 D、6

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11、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{x + 1}{x}, x < 0 \\ \frac{3 x}{e^{x}}, x \geq 0 \end{array}$ ，关于x的方程 $f^{2} (x) - m |f (x)| = 0 (m \in R)$ ，则下列正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为R B、函数 $f (x)$ 的单调减区间为 $(- \infty, 0), [1, + \infty)$ C、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，则方程有4个不相等的实数根 D、若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 $(\frac{3}{e}, + \infty)$

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12、已知平面向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足： $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 2$ ，且 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{n}$ ，则向量 $\vec{m}$ 与向量 $\vec{n} - \vec{m}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n} + 4$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = 12 - {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ B、 $a_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n + 2}$ C、 $a_{n} = 12 - 11 \times {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ D、 $a_{n} = 8 + {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

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14、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求实数k的值．

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15、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 分别是侧棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 的中点， $A B ⊥ B C$ ， $A_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} B_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、如果 $A_{1} C = B_{1} C$ ， $A B = B C = 4$ ，求二面角 $A_{1} - B B_{1} - C$ 的余弦值.

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16、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (λ, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，若向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量 $\vec{c} = (\frac{1}{2}, 0)$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、1

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17、下列函数的最小值为2的有（）

A、 $y = x^{2} - 2 x + 2, x \in [0, 8]$ B、 $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}, x \in (1, 4]$ C、 $y = \frac{1}{4 x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - 2 x}, x \in (0, \frac{1}{2})$ D、 $y = \sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}, x \in R$

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18、定义集合运算 $A ⊙ B = \{z |z = {(x + y)}^{2}, x \in A, y \in B\}$ ，若集合 $A = \{- 1, 1\}$ ， $B = \{2, 3\}$ ，则集合 $A ⊙ B$ 所有元素之和为．

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19、如图，五面体 $E F - A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $D A ⊥ D C$ ， $D E ⊥$ 平面ABCD．

(1)、求证： $A D / / E F$ ；

(2)、若 $D E = D C = 1$ ， $A D = 3$ ， $B C = 2$ ，求点E到直线AB的距离；

(3)、若 $D C = 1$ ， $E F = 4$ ， $B C = 2$ ，二面角 $F - B D - C$ 的余弦值为 $- \frac{2 \sqrt{26}}{13}$ ，求DE的长．

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20、在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求a的值．若根据这次成绩，学校建议 $70 %$ 的学生选报物理， $30 %$ 的学生选报历史，某同学想选报物理，请同他的物理成绩应不低于多少分较为合适?（小数点后保留一位）

(2)、这100名学生中，成绩位于 $[80, 90)$ 内的学生成绩方差为12，成绩位于 $[90, 100)$ 内的同学成绩方差为10．请估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差．

(3)、现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级，若两个模块成绩均为A+，则直接参加；若一个模块成绩为A+，另一个模块成绩不低于B，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为 $\frac{2}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{5}, \frac{3}{20}$ ；乙在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{10}, \frac{1}{20}$ ；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{5}{16}$ ．求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率．

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