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相关试卷

1、设 $α$ 是第一象限的角，若 $cos α = \frac{3}{5}$ ，则 $tan α =$ .

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2、已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $x \leq 0$ 时， $f (x) = e^{x} - 1$ ，则 $f (x)$ 的值域是

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3、流感病毒是一种 $RNA$ 病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品 $Φ$ 和治疗甲流药品 $Ψ$ ，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表：
预防药品 $Φ$
甲流病毒
合计
感染
未感染
未使用
24
21
45
使用
16
39
55
合计
40
60
100

(1)、根据 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析预防药品 $Φ$ 对预防甲流的有效性；

(2)、用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品 $Ψ$ 对该动物进行治疗，已知治疗药品 $Ψ$ 的治愈数据如下：对未使用过预防药品 $Φ$ 的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品 $Φ$ 的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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4、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y = 0$ ．

(1)、求直线 $y = 2 x$ 被圆截得弦长；

(2)、已知圆 $M$ 过点 $(- 4, 0)$ 且与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y = 0$ 相切于原点，求圆 $M$ 的方程．

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且点 $(4, 1)$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若经过定点 $(0, - 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，记椭圆的上顶点为 $M$ ，当直线 $l$ 的斜率变化时，求 $△ M P Q$ 面积的最大值.

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6、由边长为 $1$ ， $1$ ， $\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形：
①以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边 $;$
②以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边．
设 $k_{0} = (1; 1; \sqrt{2})$ ，由方法①，②均可得到 $k_{1} = (1; \sqrt{2}; \sqrt{3})$ ，接下来继续使用上述两种方法，得到三角形序列 ${k_{n} | k_{n} = (a_{n}; b_{n}; c_{n})} ($ 其中 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ 是直角三角形 $k_{n}$ 的三条边，且 $a_{n} \leq b_{n}$ ， $c_{n}$ 为斜边 $)$ ，满足对于任意 $n \in N^{*}$ ，有 $k_{2 n} = (a_{n}; c_{n}; \sqrt{a_{n}^{2} + c_{n}^{2}})$ ， $k_{2 n + 1} = (b_{n}; c_{n}; \sqrt{b_{n}^{2} + c_{n}^{2}}) .$

(1)、设 $t_{n} = k_{2^{n - 1}} (n \in N^{*})$ ，求 $\{t_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $k_{n} = (5; 6; \sqrt{61})$ ，求 $n$ ；

(3)、证明：在直角三角形序列 $\{k_{n}\}$ 中，若 $i \neq j$ ，则 $\frac{a_{i}}{b_{i}} \neq \frac{a_{j}}{b_{j}}$ ．

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7、 $2019$ 年 $7$ 月 $30$ 日国家市场监督管理总局第 $111$ 次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自 $2019$ 年 $10$ 月 $1$ 日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于 $55 %$ 为优级品，固形物含量低于 $55 %$ 且不低于 $50 %$ 为一级品，固形物含量低于 $50 %$ 为二级品或不合格品．

(1)、现有 $6$ 瓶水果罐头，已知其中 $2$ 瓶为优级品， $4$ 瓶为一级品．
（ⅰ）若每次从中随机取出 $1$ 瓶，取出的罐头不放回，求在第 $1$ 次抽到优级品的条件下，第 $2$ 次抽到一级品的概率；
（ⅱ）对这 $6$ 瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出 $6$ 瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列与期望；

(2)、已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为 $p (0 < p < 1)$ ，且各件产品是否为优级品相互独立，若在 $10$ 次独立重复抽检中，至少有 $8$ 次抽到优级品的概率不小于 $7 \times {0.75}^{9}$ （约为 $0.5256$ ），求 $p$ 的最小值．

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8、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，过点 $F (1, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点， $A$ 在 $x$ 轴上方， $A M$ ， $B N$ 均垂直于 $C$ 的准线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ．

(1)、当 $|A B| = 3 |B N|$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、已知 $O$ 为坐标原点，证明： $|O A| \cdot |O B| = |O M| \cdot |O N|$ ．

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, A B C D$ 为矩形， $A B = A D = \frac{\sqrt{2}}{2} P D$ ，点 $E$ 在棱 $P B$ 上，且直线 $P D$ 与 $C E$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ．

(1)、证明：点 $E$ 为棱 $P B$ 的中点；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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10、若函数 $f (x) = x (2^{- x} - a) - |x - 1|$ 有且仅有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ ，则实数 $a$ 的取值集合为．

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11、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x = 0, C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + 4 = 0, P, Q$ 分别是 $C_{1}, C_{2}$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最大值为．

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12、已知 $i^{2} = - 1$ ，若复数 $z = (1 + i) (1 - i) + 2 i$ ，则 $|z| =$ ．

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，若满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = a$ （ $a$ 为正常数）的动点 $P (x, y)$ 的轨迹为 $C$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\exists a > 0$ ，使得曲线 $C$ 经过原点 $O$ B、 $\forall a > 1$ ，曲线 $C$ 既是轴对称图形，也是中心对称图形 C、当 $a = 1.2$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、当 $a = 8$ 时，曲线 $C$ 围成的面积大于曲线 $E : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 围成的面积

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14、声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为 $π$ 的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是 $f (x) = \frac{3}{4} sin (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6})$ ，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（）

A、 $g (x) = - \frac{3}{4} sin (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6})$ B、 $g (x) = \frac{3}{4} cos (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = \frac{3}{4} cos (\frac{2}{3} x)$ D、 $g (x) = \frac{3}{4} cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6})$

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15、某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据：
研究学科
性别
数学
物理
化学
生物
合计
女
15
10
24
31
80
男
45
40
18
17
120
合计
60
50
42
48
200
欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（）

A、若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B、若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C、若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D、若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n} = n^{2} + λ n (λ \in R)$ ，若 $\exists p, q \in N^{*}$ 且 $p \neq q$ ，使得 $a_{p} = a_{q} = - 120$ ，则 $λ$ 的取值个数为（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $8$ 个 D、无数个

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17、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (c, 0)$ ， $A$ ， $B$ 是其一条渐近线上的两点，且 $|A B| = 2 a$ ，若 $△ A B F$ 的面积等于 $c$ ，则 $c$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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18、已知 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 1, b + c = 2, A = \frac{π}{4}$ ，则 $sin B + sin C =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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19、若 ${sin}^{2} θ = cos θ$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $\sqrt{5} - 3$ B、 $2 - \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5} - 2$ D、 $3 - \sqrt{5}$

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20、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为1，若将其截去三棱锥 $A - A_{1} B_{1} D_{1}$ ，则剩余部分几何体的体积为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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预防药品 $Φ$	甲流病毒		合计
预防药品 $Φ$	感染	未感染	合计
未使用	24	21	45
使用	16	39	55
合计	40	60	100

研究学科性别	数学	物理	化学	生物	合计
女	15	10	24	31	80
男	45	40	18	17	120
合计	60	50	42	48	200

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828