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相关试卷

1、已知随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，记 $P (X > - 1) = a, P (1 < X < 3) = b$ ，则（）

A、 $P (X < 3) = a$ B、 $a - b = \frac{1}{2}$ C、 $E (2 X - 1) = 2 E (X)$ D、 $D (2 X - 1) = 4 D (X)$

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2、过抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上一动点P作圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ （r为常数且 $r \in N^{*}$ ）的两条切线，切点分别为A，B，若 $|A B| \cdot |P C|$ 的最小值是 $4 \sqrt{3}$ ，则 $r =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3、已知函数 $f (x) = \sin^{2} ω x + \cos^{4} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为10，则 $f (\frac{5}{2}) =$ （）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、1

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4、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2022}, S_{2024}, S_{2026} - 8$ 成等差数列， $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 成等比数列，则 $S_{30} =$ （）

A、900 B、600 C、450 D、300

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5、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 均为单位向量，且 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = \frac{2 π}{3}, 〈 \vec{a} + \vec{b}, \vec{c} 〉 = \frac{π}{3}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + t \vec{c} | (t \in R)$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6、 $A, B, C$ 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且 $A$ 大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（）

A、18种 B、21种 C、24种 D、36种

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7、已知 $f (x) = \frac{e^{x} \cos x}{e^{2 x} + a}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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8、若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 + 2 i} = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $1 + i$ D、 $3 + i$

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9、已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1}, B = \{x | 2^{x} \leq \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${- 2, - 1}$ C、 ${1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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10、 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x)$ 满足对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} - x_{2} \in M$ 时，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \in M$ ，则称 $f (x)$ 是 $M$ 连续的.

(1)、请写出一个是 $\{1\}$ 连续的函数 $f (x)$ （不必说明理由）；

(2)、证明：若 $f (x)$ 是 $[2, 3]$ 连续的，则 $f (x)$ 是 $\{2\}$ 连续且是 $\{1\}$ 连续的；

(3)、当 $x \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 时， $f (x) = a x^{3} + \frac{1}{2} b x + 1$ （ $a$ ， $b \in N$ ），且 $f (x)$ 是 $[2, 3]$ 连续的，求 $a$ ， $b$ 的值.

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11、已知函数 $f (x) = - \ln x + (2 + a) x - 2$ .

(1)、若 $f^{'} (1) = 1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、设 $a > - 2$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ 上无零点，求 $a$ 的取值范围.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 2 a_{n} + 5$ .
（1）证明： $\{a_{n} + 5\}$ 是等比数列；
（2）若 $S_{n} + 5 n > 128$ ，求 $n$ 的最小值.

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13、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值.

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14、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，其导函数为 $g (x)$ ，若函数 $y = f (x + 2) - 1$ 是奇函数，函数 $y = g (x + 1)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (2) = 1$ B、 $g (2) = 1$ C、函数 $y = f (x) - 1$ 是奇函数 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 1012$

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15、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，现有如下四个命题：
甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ；
乙：该函数图象可以由 $y = \cos 2 x - \sqrt{3} \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到；
丙：该函数在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{6})$ 上单调递增；
丁：该函数满足 $f (\frac{π}{3} + x) + f (\frac{π}{3} - x) = 0$ ．
如果只有一个假命题，那么该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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16、下列四个命题：
①若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$
②若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - c > b - d$
③若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$
④若 $a > b > 0$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$
其中正确命题的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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17、对任意两个非零向量 $\vec{m}, \vec{n}$ ，定义 $\vec{m} \otimes \vec{n} = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{\vec{n} ^{2}}$ .若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| \geq 3 |\vec{b}|$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是锐角，且 $4 (\vec{b} \otimes \vec{a})$ 是整数，则 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的取值范围是.

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18、数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n}$ 为正整数， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ 3 a_{n} + 1, a_{n} 为奇数 \end{array}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2024} =$ .

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19、函数 $f (x) = 2 sin (ω x - \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ）在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上存在最小值 $- 2$ ，则实数 $ω$ 的最小值是.

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20、5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了%.（参考数值 $\lg 2 \approx 0.301$ ）

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