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相关试卷

1、设抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F， $P (x_{0}, y_{0})$ 是C上一点且 $|P F| = x_{0} + 1$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过抛物线C的焦点F作互相垂直的两条直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ，且直线 $l_{1}$ 与抛物线C相交于A、B两点，直线 $l_{2}$ 与抛物线C相交于D、E两点，其中点A、D在第一象限.
（i）求 $\vec{A D} \cdot \vec{E B}$ 的最小值；
（ii）过F点作x轴的垂线，分别交 $A D$ ， $B E$ 于M、N两点，请判断是否存在以 $M N$ 为直径的圆与y轴相切，并说明理由.

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2、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln x - 1 (a \in R)$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2 e^{2}}$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在极小值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = 0$ ，求 $a$ 的值.

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3、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 2$ ， E为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折至 $△ A^{'} D E$ ，得到四棱锥 $A^{'} - B C D E$ ， F为 $A^{'} C$ 的中点.

(1)、证明： $B F / /$ 平面 $A^{'} D E$ ；

(2)、当二面角 $A^{'} - D E - C$ 为 $120 °$ 时，求 $C A^{'}$ 和平面 $A^{'} D E$ 所成角的正弦值.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，且满足 $a_{n + 1} - 2 a_{n} = \frac{3}{2^{n + 1}}$ .

(1)、求证： $\{a_{n} + \frac{1}{2^{n}}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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5、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $2 \sqrt{6}$ ，点P为其外接球上的动点，则点P到该正四面体 $A B C D$ 四个面的距离之和的最大值为.

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6、 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，则其外接圆的半径为.

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7、若 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{3} =$ .

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8、已知A、B分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右顶点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆上异于A、B的任意一点，R为椭圆C所在平面上的动点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $|O P|$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ B、若点P的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线与x轴交点的横坐标为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、若 $△ F_{1} P F_{2}$ 外接圆S的圆心在 $△ F_{1} P F_{2}$ 外，则 $\tan ∠ P F_{1} F_{2} < \frac{3}{4}$ D、若以 $P R$ 为直径的圆经过A、B两点，则R点的轨迹方程为 $4 x^{2} + 3 y^{2} = 16 (x \neq \pm 2)$

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9、已知 $- \frac{π}{2} < α < 0 < β < \frac{π}{2}$ ，若 $\cos α \cos β = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ， $\tan α + \tan β = - \frac{1}{6}$ ，则（）

A、 $\sin (α + β) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\sin α \sin β = \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $α - β = - \frac{π}{4}$ D、 $\tan α = - \frac{1}{2}$

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10、若圆锥 $S O$ 的母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，其轴截面 $S A C$ 是等腰直角三角形，点 $B$ 是弧 $A C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $4 \sqrt{2} π$ B、 $∠ A S B = \frac{π}{3}$ C、 $B C ⊥$ 平面 $S A B$ D、三棱锥 $S - A B C$ 的体积为 $\frac{8}{3}$

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11、已知 $f (x) = x - \frac{x^{t}}{t} (t \neq 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $[a, + \infty)$ 单调递增，其中 $a > 0$ ，则（）

A、t有最大值，a没有最大值 B、t有最大值，a有最大值 C、t没有最大值，a有最小值 D、t没有最大值，a没有最小值

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12、 $M (- \sqrt{5}, 0), N (\sqrt{5}, 0)$ ，若直线 $y = k x$ 上存在点 $P$ 满足 $|P M| - |P N| = 4$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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13、在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（）

A、18种 B、24种 C、30种 D、36种

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14、将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后的图像关于原点对称，则 $φ$ 的值为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (6, m)$ ， $(2 \vec{a} + \vec{b}) / / \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $- 3$ D、 $- 12$

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{10} = 20$ ， $S_{5} = 5$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、13 B、19 C、25 D、33

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17、已知集合 $U = \{- 1, 1, 2, 3\}$ ， $A = \{1, 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 1, 1\}$ B、 $\{- 1, 3\}$ C、 $\{1, 3\}$ D、 $\{2, 3\}$

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18、设函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1$ ，若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x_{2} > 0$ 时，记 $x_{3}$ 为 $f (x)$ 最大零点.
（i）①证明： $f (x)$ 有两个零点；②证明： $x_{2} > 2 - \frac{1}{a}$ ；
（ii）比较 $2 x_{2}$ 与 $x_{3}$ 的大小，并给出证明.

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{8 a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，一条过点 $P (1, 4)$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左、右两支分别交于 $M, N$ 两点，与两条渐近线分别交于 $S$ ， $T$ 两点．

(1)、若焦距为12，求 $C$ 的方程；

(2)、当 $k = - 2$ 时，若 $|M F_{2}| \cdot |N F_{2}| = 180$ ，证明： $M F_{1} ⊥ x$ 轴；

(3)、若 $a = 2$ ，求 $\frac{| M N |}{| S T |}$ 的最大值.

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20、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C ⊥$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是边长为2的菱形， $∠ A C C_{1} = 60 °, B C_{1} = 2 \sqrt{2}, A B = 2$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值.

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