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相关试卷

1、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = \frac{1}{4}, S_{n} + \frac{1}{2^{n}} = a_{n} cos n π$ ．

(1)、求 $a_{3}$ 和 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{|a_{n}|}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{8} - \frac{1}{8} \times \frac{1}{4^{n}} < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{T_{2 k}} < \frac{1}{6}$ ．

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2、“村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生

20

女生
15

合计

100

(1)、根据所给数据完成上表，依据α=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关?

(2)、社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，这名女生进球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3 人进球总次数X的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} .$
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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3、已知抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $y = \frac{- 1}{x}$ 相交于点 $R (x_{0}, y_{0})$ ．

(1)、若 $y_{0} = - 2$ ，求抛物线 $C_{1}$ 的准线方程；

(2)、记直线l： $y = k x + b$ 与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别切于点M、N，当p变化时，求证： $△ R M N$ 的面积为定值，并求出该定值．

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4、某工厂生产一种产品测得数据如下：
尺寸 $x (mm)$
38
48
58
68
78
88
质量 $y (g)$
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比 $\frac{y}{x}$
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290

(1)、若按照检测标准，合格产品的质量 $y (g)$ 与尺寸 $x (mm)$ 之间近似满足关系式 $y = c \cdot x^{d}$ （c､d为大于0的常数），求y关于x的回归方程；

(2)、已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为 $z = 2 y - 0.32 x$ ，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？
附：（1）参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} (\ln x_{i} \cdot \ln y_{i}) = 75.3$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (\ln x_{i}) = 24.6$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (\ln y_{i}) = 18.3$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {(\ln x_{i})}^{2} = 101.4$ .
（2）参考公式：对于样本 $(v_{i}, u_{i})$ $(i = 1, 2, \dots, n)$ ，其回归直线 $u = \hat{b} \cdot v + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (v_{i} - \bar{v}) (u_{i} - \bar{u})}{\sum_{i = 1}^{n} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} u_{i} - n \bar{v} \bar{u}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{1}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{u} - \hat{b} \bar{v}$ ， $e \approx 2.7182$ .

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5、已知O为坐标原点，在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上存在两点E，F，使得 $△ O E F$ 是边长为4的正三角形，则 $p =$ ．

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6、若 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 2$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 122$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{4} + \frac{a_{3}}{8} + \frac{a_{4}}{16} + \frac{a_{5}}{32} = 1$

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7、（多选）已知 $f (2 x + 1) = x^{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (- 3) = 4$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{4}$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (3) = 9$

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8、某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}$ 分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（）

A、路口 $C$ B、路口 $D$ C、路口 $E$ D、路口 $F$

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9、设O为坐标原点，抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于A，B两点，与 $C_{2}$ 在第一象限内的交点为M，若 $\overset{⃑}{O M} = m \overset{⃑}{O A} + n \overset{⃑}{O B} (m, n \in R)$ ， $m n = \frac{1}{8}$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{2}}{3}$

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10、已知 $m \in R$ ，且 $\frac{m + 3 i}{1 + i} = 1 + 2 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $|m - 2 i|$ 等于（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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11、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $P (2, y_{0})$ 到其焦点的距离为5，则 $p =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, \vec{b} = (- 2, 2), \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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13、设命题 $p$ ： $\exists n \in N$ ， $n^{2} > 2 n + 1$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall n \notin N, n^{2} \leq 2 n + 1$ B、 $\exists n \in N, n^{2} = 2 n + 1$ C、 $\exists n \in N, n^{2} \leq 2 n + 1$ D、 $\forall n \in N, n^{2} \leq 2 n + 1$

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14、A={1，2，3，4，5，6，7，8}， $M = {(x_{i}, y_{i}) | x_{i} \in A, y_{i} \in A}$ ，从 $M$ 中选出 $n$ 构成一列： $(x_{1}, y_{1}), ⋯, (x_{n}, y_{n})$ .相邻两项 $(x_{i}, y_{i}), (x_{i + 1}, y_{i + 1})$ 满足： $\{\begin{cases} | x_{i + 1} - x_{i} | = 3 \\ | y_{i + 1} - y_{i} | = 4 \end{cases}$ 或 $\{\begin{cases} | x_{i + 1} - x_{i} | = 4 \\ | y_{i + 1} - y_{i} | = 3 \end{cases}$ ，称为K列.

(1)、若K列的第一项为（3，3），求第二项；

(2)、若 $τ$ 为K列，且满足i为奇数时， $x_{i} \in {1, 2, 7, 8}$ ；i为偶数时， $x_{i} \in {3, 4, 5, 6}$ ；判断：（3，2）与（4，4）能否同时在 $τ$ 中，并说明理由；

(3)、证明：M中所有元素都不构成K列.

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15、函数f（x）定义域为 $(- 1, + \infty)$ ，且f（0）=0， $f^{'} (x) = \frac{l n (x + 1)}{x + 1}$ ， f（x）在A（a，f（a））（a≠0）
处的切线为l₁.

(1)、求 $f^{'} (x)$ 的最大值；

(2)、证明：当 $- 1 < a < 0$ ，除切点 $A$ 外， $y = f (x)$ 均在 $l_{1}$ 上方；

(3)、当 $a > 0$ 时，直线 $l_{2}$ 过点 $A$ 且与 $l_{1}$ 垂直， $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与 x 轴的交点横坐标分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $\frac{2 a - x_{2} - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 的取值范围.

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16、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.

(1)、求椭圆方程；

(2)、设O为原点， $M (x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq 0)$ 为椭圆上一点，直线 $x_{0} x + 2 y_{0} y - 4 = 0$ 与 $y = 2$ 和y=-2分别相交于A、B两点，设△OMA和△OMB的面积分别为S₁和S₂ ，比较 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 和 $\frac{| O A |}{| O B |}$ 的大小.

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17、某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.

(1)、估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率ρ；

(2)、从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；

(3)、假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100％，乙校学生选择正确的概率为85％.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小（结论不要求证明）.

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18、四棱锥P—ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90° ，E为BC的中点.

(1)、F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥面PAB；

(2)、若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求AB与面PCD所成角的正弦值.

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19、在△ABC中， $c o s A = - \frac{1}{3}$ ， $a s i n C = 4 \sqrt{2}$

(1)、求c；

(2)、在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高.
① $a = 6$ ， ② $b s i n C = \frac{10 \sqrt{2}}{3}$ ， ③ $Δ A B C$ 面积为 $10 \sqrt{2}$

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20、关于定义域为R的函数f（x），以下说法正确的有.
①存在在R上单调递增的函数f（x）使得f（x）+f（2x）=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f（x）使得f（x）+f（2x）=-x恒成立；
③使得f（x）+f（-x）=cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个；
④使得f（x）-f（-x）=cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个.

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尺寸 $x (mm)$	38	48	58	68	78	88
质量 $y (g)$	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5
质量与尺寸的比 $\frac{y}{x}$	0.442	0.392	0.357	0.329	0.308	0.290

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生		20
女生	15
合计			100

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828