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相关试卷

1、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E在线段 $A_{1} D_{1}$ 上，且 $∠ E D A = ∠ E A D ，$ F，G分别为线段 $B C$ ， $A D$ 的中点，且底面 $A B C D$ 为正方形.

(1)、求证：平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $E F G$

(2)、若 $E F$ 与底面 $A B C D$ 不垂直，直线 $E D$ 与平面 $E B C$ 所成角为 $45 ° ，$ 且 $E B = A B = 2 ，$ 求点 A 到平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的距离.

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2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积 $S = \frac{1}{2} (a^{2} + c^{2} - b^{2}) \sin B$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 4$ 时，求△ABC面积的最大值．

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3、 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ 被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如： $\cos 2 x + i \sin 2 x = e^{i \cdot 2 x} = {(e^{i x})}^{2} = {(\cos x + i \sin x)}^{2}$ $= \cos^{2} x - \sin^{2} x + i \cdot 2 \sin x \cos x$ .类比方法，我们可以得到 $\cos 5 x$ ＝（用含有 $\cos x$ 的式子表示）．

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4、已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点，则点 $P$ 到直线 $y = x + 3$ 的最短距离是

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5、已知随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (X > - 2) + P (X > 6) = 1$ ，则 $μ =$

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6、已知关于x的方程： $|(x + 1) e^{x} - 1| = m x + m (x > - 1)$ 有两个根 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $- 1 < x_{1} < 0 < x_{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} < 0$ C、 $x_{1} + 1 < \frac{1}{m}$ D、 $\ln m < x_{2} < e m$

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7、设函数 $f (x) = {(3 x - 1)}^{9}$ ，且记 $f (x) = a_{10} x^{9} + a_{9} x^{8} + \cdot \cdot \cdot + a_{2} x + a_{1}$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1 B、数列 $\{a_{n}\}$ 的前10项和为512 C、数列 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 的前10项和为 $- 4^{9}$ D、数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n - 1}}\}$ 的前10项和为0

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8、下列命题中正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 B、若 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (0, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(0, 3)$ C、两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向 D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = 2 \vec{P O}$ ，则 $P$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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9、过点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作曲线 $y = ln (x + 1)$ 的两条切线，记两切点分别为 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2}), x_{1} \neq x_{2}$ ，若两条切线斜率之积为1，则 $\frac{y_{0} + 1}{x_{0} + 1}$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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10、若 $\log_{2} a - a + a^{2} = \log_{2} b - b + 4 b^{2} + 1$ ，则（）

A、 $a > 2 b$ B、 $a < 2 b$ C、 $a > b + 1$ D、 $a < b + 1$

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11、某知识过关题库中有 $A, B, C$ 三种难度的题目数分别为 $300, 200, 100$ ，其中小明完成 $A, B, C$ 型题目的正确率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{2}{5}$ ，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{7}$

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12、若 $\frac{1 - \tan θ}{1 + \tan θ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\sin^{4} θ - \cos^{4} θ$ ＝（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、若两条直线 $l_{1} : y = 2 x + m ， l_{2} : y = 2 x + n$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 的四个交点能构成矩形，则 $m + n =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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14、已知向量 $\vec{m} = (- 1, 2)$ ， $\vec{n} = (x^{2}, x)$ ，若 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则 $x =$ （）

A、0或 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、当 $\frac{1}{2} < m < 1$ 时，复数 $m (1 + 2 i) - (1 + i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知集合 $P = \{x |- 2 \leq x \leq 3\} ， Q = \{x |x > a\}$ ，若 $P \cap Q = \emptyset$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 2$ B、 $a < 0$ C、 $a \geq 3$ D、 $a > 3$

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17、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到直线 $l : 2 x - y + \frac{7}{2} = 0$ 的距离为 $\frac{11 \sqrt{5}}{10}$ ．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程．

(2)、点 $P$ 为直线 $l$ 上的一点，过点 $P$ 作 $E$ 的切线，切点分别为 $M, N$ ．
①问：直线 $M N$ 是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．
②若点 $P$ 在抛物线 $E$ 的准线上，切点 $M$ 在第一象限内，存在过点 $P$ 的直线与 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作平行于 $P M$ 的直线，分别与直线 $M N$ 和直线 $M B$ 交于点 $G, H$ ，若 $| A G | = λ | A H |$ ，求 $λ$ 的值．

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18、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = ln (x - 1)$ ．

(1)、求曲线 $g (x)$ 在点 $(2, g (2))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) > g (x) + 3$ ；

(3)、若 $a > 0$ ，关于 $x$ 的不等式 $a f (x) + ln a < g (x) - 1$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $∠ B B_{1} A_{1} = ∠ B B_{1} C_{1} = 60 °$ ，点 $D$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B B_{1} D ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $B D = B_{1} D = \sqrt{2}$ ，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求点 $A$ 到平面 $A_{1} B M$ 的距离．

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $b + 2 b cos A = c$ ．

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 1$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 上一点， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，求 $A D + \frac{1}{a}$ 的值；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{c}{b}$ 的取值范围．

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