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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{3} + a_{5} = 10$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 b_{n} - 3 (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{b_{a_{n}}\}$ 的前10项和为（）

A、2046 B、3069 C、6138 D、6144

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2、记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则“ $1 < x < 2$ ”是“ $0 < [x] < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{12})$ B、 $g (x) = sin (2 x + \frac{π}{12})$ C、 $g (x) = sin (2 x - \frac{5 π}{12})$ D、 $g (x) = sin (2 x - \frac{7 π}{12})$

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4、椭圆 $3 x^{2} + y^{2} = 1$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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5、已知复数 $z = \frac{2}{\sqrt{3} - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则其共轭复数为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - i}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + i}{2}$ C、 $\sqrt{3} - i$ D、 $\sqrt{3} + i$

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6、已知集合 $A = \{x ∣ - 2 \leq x \leq 2\}, B = {x ∣ 0 < x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 2\}$ B、 ${x ∣ 0 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 0 < x \leq 3}$ D、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 3\}$

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为 $4 + 2 \sqrt{2}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）已知直线 $y = k (x - 1)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.
①若线段 $A B$ 中点的横坐标为 $\frac{1}{2}$ ，求 $k$ 的值；
②在 $x$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使 $\overset{⇀}{Q A} \cdot \overset{⇀}{Q B}$ 为定值？若是，求点 $Q$ 的坐标；若不是，请说明理由.

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8、已知 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + k = 0$ 表示圆，则下列结论正确的是（）

A、圆心坐标为 $(- 2, 3)$ B、当 $k = 0$ 时，半径 $r = \sqrt{13}$ C、圆心到直线 $x + y - 1 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、当 $k = 4$ 时，圆面积为 $16 π$

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9、已知两圆C₁：(x＋3)²＋y²＝1，C₂：(x－3)²＋y²＝9，动圆M同时与圆C₁和圆C₂外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1 (x \geq 1)$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ (x≤－1)

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10、若直线 $a x + y + c = 0$ 经过第一、二、四象限，则有（）

A、 $a > 0$ ， $c > 0$ B、 $a > 0$ ， $c < 0$ C、 $a < 0$ ， $c > 0$ D、 $a < 0$ ， $c < 0$

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11、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，任何一个平面的方程都能表示成 $A x + B y + C z + D = 0$ ，其中 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D \in R$ ， $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ ，且 $\vec{n} = (A, B, C)$ 为该平面的法向量.已知集合 $P = \{(x, y, z) || x |\leq 1,| y |\leq 1,| z ∣ \leq 1\}$ ， $Q = \{(x, y, z) || x |+| y |+| z ∣ \leq 2\}$ ， $T = \{(x, y, z) || x |+| y |\leq 2,| y |+| z |\leq 2,| z |+| x ∣ \leq 2\}$ .

(1)、设集合 $M = \{(x, y, z) ∣ z = 0\}$ ，记 $P \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{1}$ ， $Q \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的值；

(2)、记集合 $Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_{1}$ ， $P \cap Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的值：

(3)、记集合 $T$ 中所有点构成的几何体为 $W$ .
①求 $W$ 的体积 $V_{3}$ 的值；
②求 $W$ 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出 $W$ 的面数和棱数.

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12、矩形 $A B C D$ 的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的顶点．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $P$ ， $Q$ ， $R$ 三点在以 $A C$ 为直径的圆上，且直线 $P Q$ ， $P R$ 均与 $E$ 有且只有一个公共点，证明： $△ P Q R$ 是直角三角形．

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - ln (x + m)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $m \leq 2$ 时，求证： $f (x) > 0$ .

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14、设 $f (α) = \sin^{x} α + \cos^{x} α, x \in \{n| n = 2 k, k \in N_{+}\}$ ，当 $x = 4$ 时， $f (α)$ 的取值范围是；当x取一般值时 $f (α)$ 的取值范围是．

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15、如图，已知定点 $B (1, - \sqrt{3})$ ， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $M$ 是线段 $O B$ 上任意一点， $M D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $M E ⊥ B C$ 于点 $E$ ． $O E$ 与 $M D$ 相交于点 $P$ ，则 $P$ 的轨迹方程为．

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16、如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 $t s$ 时相对于平衡位置的高度 $h ($ 单位： $cm)$ 由关系式 $h = 2 sin (t + \frac{π}{4})$ 确定以 $t$ 为横坐标， $h$ 为纵坐标，下列说法正确的是（）

A、小球在开始振动 $($ 即 $t = 0)$ 时的位置在 $(0, \sqrt{2})$ B、小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 $2$ $cm$ C、小球往复运动一次所需时间为 $2 πs$ D、每秒钟小球能往复振动 $\frac{1}{π}$ 次

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17、小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（）同学不用上台表演.

A、小吴：平均数为 $3$ ，中位数为 $2$ B、小温：中位数为 $3$ ，众数为 $2$ C、小蔡：平均数为 $2$ ，方差为 $2.4$ D、小龙：中位数为 $3$ ，方差为 $2.8$

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18、今天是星期四，再过 $10^{100}$ 天是星期几（）

A、星期天 B、星期一 C、星期二 D、星期三

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19、已知 $A (- 2, - 2), B (- 2, 6), C (4, - 2)$ 三点，点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，则 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2}$ 的最大值是（）

A、144 B、88 C、72 D、32

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20、已知数列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{8}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{8} = 12$ ，设 $m = a_{k + 1} - a_{k} (1 \leq k \leq 7, k \in N^{*})$ ，若 $m = 1$ 或2，则满足条件的不同数列的个数为（）

A、7 B、21 C、35 D、70

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