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相关试卷

1、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上一点．若 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2、已知 $α$ 是第一象限角，且 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{4}) =$ （　　）

A、 $\frac{17 \sqrt{2}}{50}$ B、 $- \frac{31 \sqrt{2}}{50}$ C、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{50}$ D、 $\frac{31 \sqrt{2}}{50}$

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3、已知集合 $A = \{x |1 + \frac{x}{x - 1} > 0\}$ ， $B = \{- 2, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2, 1, 2\}$ D、 $\{- 2, 0, 2\}$

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4、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $A$ 处的切线为 $l$ ，两焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 在 $l$ 上的射影分别为 $P$ ， $Q .$ 我们常常把过切点 $A$ 且与切线 $l$ 垂直的直线叫做法线，它平分 $∠ F_{1} A F_{2}$ ，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点（如图），记 $|P F_{1}| = d_{1}$ ， $|Q F_{2}| = d_{2}$ ，当点 $A$ 不在 $x$ 轴上时，记 $△ A F_{1} F_{2}$ ， $△ P A F_{1}$ ， $△ Q A F_{2}$ 的面积分别为 $S_{0}$ ， $S_{1}$ ， $S_{2} .$ 若 $∠ F_{1} A F_{2} = θ$ ．

(1)、求证： $S_{0} = b^{2} tan \frac{θ}{2}$ ；

(2)、试探究 $d_{1} d_{2}$ 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由；

(3)、当点 $A$ 不在 $x$ 轴上时，是否存在常数 $λ \in R$ ，使得 $S_{1} S_{2} = λ S_{0}^{2}$ 恒成立？并给出证明或解释．

(4)、若椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且当 $θ = 60 °$ 时，四边形 $P F_{1} F_{2} Q$ 的面积 $8 \sqrt{3}$ ，求椭圆 $E$ 的方程．

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5、某公路自行车比赛赛道的平面示意图为如图的五边形 $A B C D E .$ 根据自行车比赛的需要，需预留出 $A C$ ， $A D$ 两条服务通道 $($ 不考虑宽度 $)$ ， $D C$ ， $C B$ ， $B A$ ， $A E$ ， $E D$ 为赛道， $∠ A B C = ∠ A E D = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ B A C = \frac{π}{4}$ ， $B C = 2 \sqrt{6} (km)$ ， $C D = 8 (km) .$ 注： $km$ 为千米．

(1)、若 $c o s ∠ C A D = \frac{3}{5}$ ，求服务通道 $A D$ 的长；

(2)、在（1）的条件下，求折线赛道 $A E D$ 的最大值 $($ 即 $A E + E D$ 最大 $) . ($ 结果保留根号 $)$

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6、在四面体 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}, A C = B C = 2, P A ⊥$ 底面 $A B C, M$ 、 $N$ 、 $Q$ 分别是 $P B 、 P A 、 B N$ 的中点，点 $E$ 在线段 $P C$ 上，且 $P E = 3 E C$ ．

(1)、求证： $E Q / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $M A C$ 与平面 $A C B$ 的夹角的大小．

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7、已知函数 $f (x) = {c o s}^{2} \frac{ω x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} s i n ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，则（）

A、 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6 ω})$ 上单调递增 C、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上恰有一个极值点，则 $ω$ 的取值范围是 $(\frac{1}{3}, 2)$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 内没有零点，则 $ω$ 的取值范围是 $(0, 1)$

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8、下列命题正确的是（）

A、 $∃ a, b ∈R$ ， $|a −2| + {(b +1)}^{2} ≤0$ B、若 $a, b >0$ ，且 $a b = a + b +3$ ，则 $a b$ 的最小值是9 C、 $a ≥ b >−1$ ，则 $\frac{a}{1+ a} ≥ \frac{b}{1+ b}$ D、 $a b ≠0$ 是 $a^{2} + b^{2} ≠0$ 的充要条件

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9、定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (- 1) = - \frac{1}{3}$ ，对于任意的实数 $x$ 均有 $\ln 3 \cdot f (x) < f^{'} (x)$ 成立，且 $y = f (x - \frac{1}{2}) + 1$ 的图像关于点（ $\frac{1}{2}$ ， 1）对称，则不等式 $f (x) - 3^{x - 2} > 0$ 的解集为（）

A、（1，+∞） B、（ $-$ 1，+∞） C、（ $-$ ∞， $-$ 1） D、（ $-$ ∞，1）

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10、若 $x = a + lg 2$ ， $y = a + \frac{1}{2} lg 2$ ， $z = a + 2 lg 2$ 成等比数列，则公比为（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 3$ D、 $3$

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11、“ $a > 1$ ”是“函数 $f (x) = {(x + a)}^{2}$ 在 $(0, + \infty)$ 内单调递增”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要

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12、复数 $\frac{1}{1 - 3 i}$ 的虚部是（）

A、 $-$ $\frac{3}{10}$ B、 $-$ $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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13、已知函数 $f (x) = (2 x^{2} + x - 1) \ln (x + 1) - \frac{1}{2} x^{3} + a x^{2} + x (a \in R)$ ．

(1)、证明：当 $a \geq - \frac{3}{2}$ 时， $x \in (- 1, 0), f (x) < f (1)$ ；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极大值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
（i）当0是 $f (x)$ 的极小值点时，证明： $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ；
（ii）当 $x_{1} = 0$ 时，是否存在 $a$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ？如果存在，请求出 $a$ 的值，如果不存在，请说明理由．

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14、一个袋子中装有 $n$ 个大小相同的小球，编号分别为 $1, 2, 3, \dots, n$ ，且 $n \geq 3, n \in N^{*}$ ．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出 $k$ 个球，记所取球的编号组成的集合为 $M$ ．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出 $k$ 个球，记所取球的编号组成的集合为 $N$ ．设随机变量 $X$ 表示 $M \cap N$ 的元素个数．

(1)、若 $n = 4, k = 2$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、若 $k = 3$ ，且 $P (X = 2) = \frac{9}{20}$ ，求 $n$ ；

(3)、求 $X$ 的方差 $D (X)$ （结果用k，n表示），并探究k，n具有怎样的关系时， $D (X)$ 最大？

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15、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的正三角形， $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 60^{°}$ ， $A A_{1} = 1$ ， $E$ 为BC的中点， $F$ 为上底面 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心．

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面ABC；

(2)、求平面 $A_{1} E F$ 与平面 $A_{1} C_{1} E$ 的夹角的余弦值．

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16、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c \sin B = b \cos (C - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $D$ 是AB边上一点，且 $B D = C D = 2 A D$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的值．

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17、融合科技和娱乐的无人机群表演深受人们欢迎．现有 $n$ 架无人机 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} (n \geq 3)$ 依次围成一个圆形飞行表演编队（ $A_{1}, A_{n}$ 相邻）．操控员需要对每架无人机发送两种编码：频段编码（0或1）和校验编码（ $T$ 或 $t$ ），无人机端接收频段编码和校验编码．为了保证无人机群飞行的稳定，要求相邻两架无人机之间的频段编码或者校验编码至少有一个相同，称满足这样条件的编码为合法编码，设该无人机群飞行编队的合法编码有 $a_{n}$ 种．则 $a_{3} =$ ， $a_{99} =$ ．

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18、若 $f (x)$ 是奇函数，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) = \log_{\sqrt{3}} x$ ．则 $f (- 3) =$ ．

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19、已知随机事件 $A$ 和 $B$ ，其中 $P (A) = P (B) = \frac{1}{2}, P (A \cup B) = \frac{3}{4}$ ．则 $P (A B) =$ ．

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20、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $E : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ （异于 $O$ ）在抛物线 $E$ 上， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，曲线 $E$ 在点 $A$ 处的切线为 $l$ ，且 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ．下列说法正确的是（）

A、 $C$ 为OB的中点 B、 $△ A C F$ 可能为锐角三角形 C、若 $∠ C A F \leq 45^{°}$ ，则四边形ABCF的面积不小于 $\frac{3}{2}$ D、若 $l$ 与圆心在 $y$ 轴上的圆 $D$ 相切于点 $A$ ，且 $∠ D A F = 60^{°}$ ，则 $D (0, 5)$

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