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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln x^{2} + |x| - \frac{1}{|x|}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、不等式 $f (x) < f (2 - x)$ 的解集为 $(0, 1)$ D、若 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $2$

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2、已知复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ ，则（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $- i$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限 D、 $z$ 为方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = ln (2 - \frac{1}{a_{n} + 1}) (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $0 < a_{2026} < \frac{1}{5052}$ B、 $\frac{1}{5052} < a_{2026} < \frac{1}{2027}$ C、 $\frac{1}{2027} < a_{2026} < \frac{1}{2026}$ D、 $\frac{1}{2026} < a_{2026} < \frac{1}{2}$

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4、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $2 sin β = cos (α + β) sin α$ ，则 $\tan β$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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5、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 6 y$ 的焦点， $M$ 是 $C$ 上一点，直线 $F M$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ．若 $M$ 为 $F N$ 的中点，则 $|F N| =$ （）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则“ $a_{2} a_{6} > a_{3} a_{4}$ ”是“ $q > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、某学校派甲、乙、丙、丁4名同学参加“永超”足球比赛中3个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，甲、乙两位同学不能参加同一场次，则不同派法的种数为（）

A、12 B、24 C、30 D、36

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8、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (X \leq 0) =$ （）

A、0.7 B、0.6 C、0.5 D、0.3

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9、已知函数 $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})$ ，则 $f (x)$ 的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{π}{6}, 0)$ B、 $(\frac{π}{3}, 0)$ C、 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ D、 $(\frac{5 π}{6}, 0)$

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10、已知集合 $U = \{x \in N^{*} ∣ x < 9\}$ ， $A = \{3, 4, 5, 6\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 7, 8\}$ B、 $\{1, 2, 7, 8\}$ C、 $\{1, 2, 7, 8, 9\}$ D、 $\{0, 1, 2, 7, 8, 9\}$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}, g (x) = x^{2} - 2 e x + a$ （ $e$ 为自然对数的底数）

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1, 0)$ 处的切线与 $y = g (x)$ 恰有一个公共点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $m (x) = \frac{g (x)}{x} (x > 0)$ ，讨论函数 $m (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 至少存在一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左，右焦点，点 $P$ 为椭圆上任意一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}, M N$ 所在的直线经过椭圆的中心 $O$ ，现将坐标平面沿 $y$ 轴折成一个直二面角，如图1､2所示.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线的斜率为1，求翻折后异面直线 $M N$ 与 $F_{1} F_{2}$ 所成角的余弦值；

(3)、当 $M, N$ 不在 $y$ 轴上时，如图2，求 $△ O M N$ 面积的最大值.

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13、已知圆 $C_{n} : {(x - 2)}^{2} + {(y - n)}^{2} = 1, n \in N^{*}$ 外有一点 $A (- 3, 3)$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，过点 $A$ 作直线 $l$ ，当直线 $l$ 与圆 $C_{2}$ 相切时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、自点 $A$ 发出的光线经过 $x$ 轴反射后与 $C_{n}$ 相切，记与 $C_{n}$ 相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为 $a_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < 7$ .

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14、苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的 $C$ 处，此时他测得山顶 $A$ 的仰角为 $30^{\circ}$ .他沿着东偏南 $30^{\circ}$ 的方向前行200米后到达点 $D$ 处，此时他测得山顶点 $A$ 的仰角为 $45^{\circ}$ .假设山顶在水平面上的投影为点 $B$ ，且点 $D$ 位于点 $B$ 的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计.

(1)、求山高 $A B$ ；

(2)、已知景区内点 $E$ 处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为 $15^{\circ}$ ，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为 $30^{\circ}$ .求山脚下缆车上车点 $E$ 到 $B$ 点的距离.

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15、随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量 $y$ （单位：万个），为方便研究，年份代码用 $x$ 表示（如： $x = 1$ 表示2021年），具体参考数据如下表：
统计量
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
数值
55
72.6
21

(1)、请根据表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及均值.
（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

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16、若存在实数 $m$ ，使得关于 $x$ 的方程 $e^{m + a - x} = \frac{2 x - 2 m - 1}{x - m - 1}$ 有两个不同的根，其中 $e$ 为自然对数的底数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17、在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A ､ B ､ C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = 2 B$ ，则 $\frac{c - b}{a}$ 的取值范围为.

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18、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ .

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19、某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体.如图所示，已知正八面体 $P - A B C D - S$ 棱长为2，下列结论正确的有（）

A、平面 $P C D$ 与平面 $S C D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ B、正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、正八面体的体积与表面积的比值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、点 $A$ 到平面 $S C D$ 距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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20、已知二次曲线 $C : 5 (x^{2} + y^{2}) + 6 x y = 8$ 表示一个椭圆，则（）

A、 $C$ 的对称中心为 $(0, 0)$ B、 $C$ 上的点到原点距离的取值范围是 $[\frac{1}{2}, 2]$ C、当点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在 $C$ 上时， $y_{0} \in [- \frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2}]$ D、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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统计量	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
数值	55	72.6	21