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相关试卷

1、 $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{2 + 4 i}{1 - i} =$ （）

A、 $- 1 + 3 i$ B、 $3 + i$ C、 $3 - i$ D、 $2 + 4 i$

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2、已知{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，如果a_n＝2023，则序号n等于（）

A、667 B、668 C、669 D、675

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3、已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 有公共的焦点．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知 $M (0, 3)$ ， P是C上的任意一点，求 $|P M|$ 的最小值．

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4、已知函数 $f (x) = a ln (x + 1)$ ， $g (x) = x f (x)$ .

(1)、若 $a > 0$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $e^{x} - 1 \geq f (x)$ ， $h (x) = g (x) - cos x$ .
（ⅰ）求 $a$ ；
（ⅱ）函数 $h (x)$ 图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由.

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5、在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为 $\frac{3}{4}$ ；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为 $\frac{4}{5}$ ；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；

(2)、物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ .
（i）求 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ，并证明：数列 $\{a_{n} + \frac{4}{5} b_{n} - \frac{2}{3}\}$ 为等比数列；
（ii）求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.

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6、在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC
⊥平面ABC，SA=SC=2 ， M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；
（3）求点B到平面CMN的距离．

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = \frac{1}{8}$ ， $a_{6} = \frac{1}{64}$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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8、为了测量一个不规则公园 $C, D$ 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距 $1 km$ 的 $A, B$ 两点，点 $B$ 在点A的正东方向上，且 $A, B, C, D$ 四点在同一水平面上．从点A处观测得点 $C$ 在它的东北方向上，点 $D$ 在它的西北方向上；从点 $B$ 处观测得点 $C$ 在它的北偏东 $15 °$ 方向上，点 $D$ 在它的北偏西 $75^{\circ}$ 方向上，则 $C, D$ 之间的距离为km.

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9、若正整数 $m, n$ 的公约数只有1，则称 $m, n$ 互质.设 $n$ 为正整数，则函数 $φ (n)$ 表示小于或等于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数，例如， $φ (3) = 2, φ (7) = 6, φ (9) = 6$ .函数 $φ (n)$ 以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（）

A、 $φ (5) = φ (10)$ B、 $φ (2^{n} - 1) = 1$ C、 $φ (32) = 16$ D、 $φ (2 n + 2) > φ (2 n), n \in N^{*}$

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10、已知 $(e^{x} - y) (x - 2 y) \leq 0$ ，则（）

A、 $\exists x, y$ ，使得 $x + y = 0$ B、 $\exists x, y$ ，使得 $y = \ln x$ C、 $\forall x, y$ ，都有 $y + x^{2} - x \geq 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x$ 有最小值

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11、在 $n$ 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ，则事件 $A$ 发生的次数 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件 $A$ 首次发生时试验进行的次数 $Y$ ，我们称 $Y$ 从“几何分布”，经过计算 $E (Y) = \frac{1}{p}$ ，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件 $A$ 和 $\bar{A}$ 都发生后停止，此时所进行的试验次数记为 $Z$ ，则 $P (Z = k) = {(1 - p)}^{k - 1} p + p^{k - 1} (1 - p)$ ， $k = 2, 3, \dots$ ，那么下列说法正确的是（）

A、 $P (X = 5) = 5 p {(1 - p)}^{4}$ B、 $P (Y = k) = p {(1 - p)}^{k - 1}$ ， $k = 1, 2, 3, \dots$ C、 $P (Y = 3)$ 的最大值为 $\frac{4}{27}$ D、 $E (Z) = \frac{1}{p (1 - p)} - 1$

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12、设函数 $f (x) = x^{2} - \ln x, g (x) = x - 1$ ，直线 $y = m$ 分别交函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象于点P，Q，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (m, m^{2} - 5)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{5}{2}$ C、-2或 $\frac{5}{2}$ D、2或 $- \frac{5}{2}$

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14、若函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x + 1}, x < 2 \\ \log_{2} x, x \geq 2 \end{cases}$ ，则 $f (f (2)) =$ （）

A、 $- 3$ B、2 C、3 D、4

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15、若复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，并满足 $i \bar{z} = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $1+2i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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16、设各项为整数的等差数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 的公差 $d > 0$ ，首项 $a_{1} = 1$ ．已知从中能抽取 $k (k \geq 3)$ 个项并按原顺序排成公比为q的等比数列 $a_{m_{1}}$ ， $a_{m_{2}}$ ， …， $a_{m_{k}}$ ，其中 $m_{1} = 1$ ， $2 \leq m_{2} < m_{3} < \dots < m_{k} \leq n$ ．

(1)、若从等差数列1，3，5，…， $2 n - 1$ 中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求 $2 n - 1$ 的最小值；

(2)、求证： $n \geq 2^{k - 1}$ ；

(3)、请举出一个满足 $n = 2^{k - 1}$ 的例子．

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17、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，点M为动直线 $y = \frac{3}{2} x + m$ 被椭圆截得的弦 $A B$ 的中点．

(1)、求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程；

(2)、设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - x ln x + b (a, b \in R)$ ．

(1)、求证： $x = 1$ 不是函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ， $x \in (0,e]$ ，是否存在a，使得函数 $g (x)$ 的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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19、某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）.
表（一）单位：人
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
14
7
21
男
8
11
19
合计
22
18
40

(1)、请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响；

(2)、根据B同学的列联表，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义；
（参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，临界值 $x_{0.05} = 3.841$ ）

(3)、请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因.

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20、 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，延长 $A B$ 到点 $D$ ，使 $A D = B C$ ，连接 $C D$ ．若 $A = 100 °$ ，则 $∠ B C D$ 的大小为.

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性别	身高		合计
性别	低于170cm	不低于170cm	合计
女	14	7	21
男	8	11	19
合计	22	18	40