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相关试卷

1、有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数 $(x, y)$ 表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形.如图，在△ABC中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算 $\cos ∠ M P N$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{15}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{15}$

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2、已知 $\vec{a} = (1, 2, 0), \vec{b} = (- 2, 0, 1)$ ，若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} + 3 \vec{b}$ 平行，则 $k =$ （）．

A、2 B、1 C、6 D、3

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3、设i为虚数单位，则复数 $\frac{1 - i}{2 + i} =$ （）．

A、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$

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4、若集合 $M = {x | x^{2} > 4}$ ， $N = {x | 1 < x \leq 3}$ ，则 $N \cap (∁_{R} M) =$ （）．

A、 ${x | 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | - 2 \leq x < 1}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 3}$

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5、已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} :$ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $Α$ ， $Β$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $Α Β$ 的中点 $Μ$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L:$ $y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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6、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ， $A_{1} A = 2$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， M为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、用空间的一个基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 表示 $\vec{D M}$ ， $\vec{A_{1} C}$ ；

(2)、求 $|\vec{D M}|$ ， $|\vec{A_{1} C}|$ ，异面直线DM与 $A_{1} C$ 所成角的余弦值.

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7、已知直线 $l : y = k x$ 被圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为2，则 $|k|$ 的值为.

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8、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M : x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 4 = 0$ 相交于 $A, B$ 两点，下列说法正确的为（）

A、两圆外切 B、两圆有两条公切线 C、直线 $A B$ 的方程为 $y = 2 x + 2$ D、线段 $A B$ 的长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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9、已知点 $A (2, - 3)$ ， $B (- 3, - 2)$ ，若过点 $(1, 1)$ 的直线与线段 $A B$ 相交，则该直线斜率的取值范围是（　　）

A、 $(- \infty, - \frac{3}{4}) \cup [4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4}, 4]$ D、 $[- 4, \frac{3}{4}]$

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10、在四面体 $A B C D$ 中，点M在线段 $D A$ 上，且 $D M = 2 M A$ ， N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{D A} - \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} - \frac{1}{2} \vec{D C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$

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11、已知直线 $l$ 的倾斜角为 $60 °$ ，方向向量 $\vec{a} = (3, y)$ ．则 $y =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A (0, 1)$ 为椭圆的上顶点，

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、 $P$ 、 $Q$ 为椭圆上的两点，满足直线 $A P ⊥ A Q$ ，
（i）求证：直线 $P Q$ 过定点；
（ii）若 $△ A P Q$ 面积为 $\frac{32}{15}$ ，求直线 $P Q$ 的方程.

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13、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $P B$ ， $P C$ 上的动点（端点除外），且直线 $E F ⊥$ 平面 $P A B$ .

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $\vec{P E} = 2 \vec{E B}$ ，且平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积.

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14、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (a, 0)$ ， $B (0, b)$ ， $C (3, 1)$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线方程为 $2 x - y - 3 = 0$ ，圆 $E$ 为 $△ A B C$ 外接圆.

(1)、求 $a, b$ 以及圆 $E$ 的标准方程；

(2)、求过点 $P (5, - 4)$ ，且与圆 $E$ 相切的直线方程．

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15、已知 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} (c^{2} - a^{2} - b^{2}) = 4 S$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，且 $B D = C D = 2$ ，求 $S$ .

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\cos 2 A + 2 \cos 2 B - \cos 2 C = 2$ ，则 $\tan B$ 的最大值为.

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17、已知 $P$ 是直线 $l : x - y + 3 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则四边形 $P A C B$ 面积的最小值为.

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18、方程 $\frac{x^{2}}{9 - k^{2}} + \frac{y^{2}}{7 + k} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是.

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19、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2， $P, Q$ 分别是棱 $C C_{1}$ ，棱 $B C$ 的中点，动点 $M$ 满足 $\vec{D M} = λ \vec{D A} + μ \vec{D D_{1}}$ ，其中 $λ, μ \in [0, 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ = μ$ ，则三棱锥 $B_{1} - C D_{1} M$ 的体积为定值 B、若 $λ + μ = 1$ ，则 $C M ⊥ D B_{1}$ C、若 $B_{1} M //$ 平面 $D P Q$ ，则直线 $B_{1} M$ 与直线 $A B$ 所成角可能为 $30^{\circ}$ D、三棱锥 $M - C P Q$ 外接球的表面积最小值为 $\frac{81 π}{16}$

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20、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B - {sin}^{2} C > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $A = 60^{°}, a = \sqrt{15}, b = 4$ ，则满足条件的三角形有两个 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $sin A > cos B$

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