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相关试卷

1、三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点在球 $O$ 的表面上，若 $P A = A C = P C = 1$ ， $B C = P B = 2$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为.

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2、已知 $f (x) = b + cos(ω x - \frac{π}{4})$ （ $2 < ω < 3$ ）的图象关于点 $(- \frac{π}{2}, - 1)$ 中心对称，则 $f (\frac{π}{2}) =$ .

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3、已知事件 $A$ ， $B$ 相互独立， $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (A \cup B) =$ .

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4、已知 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 到点 $F (1, 0)$ 的距离比它到直线 $x + 3 = 0$ 的距离小2，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过点 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在第一象限），且 $|A F| = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A B$ 的方程为 $y = \sqrt{3} x - \sqrt{3}$ B、 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ C、 $|A B| = \frac{16}{3}$ D、若曲线 $y = k |x - 1|$ （ $k > 0$ ）与 $C$ 在第一象限相交于 $P$ 、 $Q$ 且 $∠ P O F = 2 ∠ Q O F$ ，则 $k = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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5、函数 $f (x) = 2 \ln x + \frac{2 a}{3} x^{3} - x^{2} + 2 b x$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = - b = 1$ ，则 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极值点 B、若 $f^{'} (1) = 4$ ，则 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ C、若 $a = 0$ ， $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 单调递减，则 $b \leq \frac{3}{2}$ D、若 $a \leq 0$ ， $b = 0$ ，则 $f (x)$ 无零点

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6、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 且公比 $q > 0$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} = \frac{19}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = \frac{3}{2}$ B、 $S_{4} < 8$ C、 $\{\log_{2} a_{n}\}$ 是等差数列 D、 $\{S_{n} - 2\}$ 是等比数列

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7、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）， $l$ 为 $C$ 的一条渐近线，若双曲线 $C$ 的左焦点 $F (- c, 0)$ 关于直线 $l$ 的对称点在圆 ${(x - c)}^{2} + y^{2} = c^{2}$ 上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x$ ， $y \in R$ ， $f (x) = f (x - y) f (y)$ ，且 $f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = - 2$ C、 $f (x + 1) < f (x)$ D、 $f (x + 2) + f (x) > 2 f (x + 1)$

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9、已知各项为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ 且 $S_{n}^{2} - 2 S_{n} = S_{n - 1}^{2} + 2 S_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ），则 $S_{2026} =$ （）

A、4052 B、4051 C、2027 D、2026

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10、已知二项式 ${(a x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中所有项的系数和为32，若 $ξ \sim N (μ, 4)$ 且 $P (ξ < a) = P (ξ > 3)$ ，则 $μ$ 为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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11、函数 $f (x) = \frac{\sin 4 x}{1 + 3^{|x|}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12、设集合 $A = \{x \in N |0 \leq x < 6\}$ ， $B = \{x |2 x - 1 \in A\}$ ，则 $A \cap B$ 为（）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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13、已知复数 $z = 1 - i$ ，则复数 $\frac{1}{z^{2}}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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14、进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；…；满几进一，就是几进制”.记十进制下的自然数 $m$ 在三进制下的表示为 $a_{n} a_{n - 1} \dots a_{1} a_{0 (3)}$ ，则 $m = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot 3^{i}$ ，其中 $a_{l} \in {0, 1, 2}, a_{n} \neq 0$ ，例如十进制数 $19 = 2 \times 3^{2} + 0 \times 3^{1} + 3^{0}$ ，所以19在三进制下可写为 $201_{(3)}$ .

(1)、设正整数 $m$ 在三进制下的各位数字之和 $S (m) = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ；
（i）将满足 $S (m) = 3$ 的正整数 $m$ 从小到大排成一列，写出该列数的前四个数；
（ii）证明： $S (3 m + 2) = S (9 m + 4)$ ；

(2)、已知正整数 $m \leq 80$ ，设正项数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $4 T_{n}^{2} - b_{n}^{2} + 2 m \cdot b_{n} - m^{2} = 0$ ， $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{\infty} ([b_{i} + \frac{1}{3}] + [b_{i} + \frac{2}{3}]) = m$ （其中[x]表示不大于 $x$ 的最大整数）.

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15、已知反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象 $T_{0}$ 是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线，将曲线 $T_{0}$ 绕原点顺时针旋转 $\frac{π}{4}$ ，得到曲线 $T$ ，设曲线 $T$ 的左顶点为 $A$ .

(1)、求 $A$ 的坐标及曲线 $T$ 的标准方程；

(2)、若B，C为曲线 $T$ 右支上不同两点， $D$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $E$ 为 $D$ 关于原点的对称点，证明：
（i）点 $D$ 在曲线 $T$ 上；
（ii）A，B，C，E四点共圆.

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16、设a为非负实数，函数 $f (x) = \tan x - a \sin x - 2 x, x \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) + b \geq 0$ 恒成立，求 $a + b$ 的最小值.

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17、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = A D = 1$ ， $B C = C D = \sqrt{3}, A C = 2$ .

(1)、求平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值；

(2)、已知 $E$ ， $F$ 分别为线段 $P B$ ， $P C$ 上的动点，是否存在这样的点 $E$ ， $F$ ，使得 $A$ ， $E$ ， $F$ ， $D$ 四点共面、且该平面与平面 $P B C$ 垂直？若存在，请确定点 $E$ ， $F$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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18、为探索“五育融合”育人项目，某市在中小学全面开展志愿服务实践课程，并建立了学生志愿服务日参与情况的常态化统计机制．下表是课程开设后前5个月的数据，其中 $x$ 表示月份编号， $y$ 表示该月份日平均参与志愿服务的学生人数（单位：万人）.
月份编号 $x$
1
2
3
4
5
平均参与人数 $y$ （单位：万人）
0.5
0.7
1
1.3
1.5

(1)、已知 $y$ 与 $x$ 之间线性相关，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测第6个月的日平均参与志愿服务的学生人数；

(2)、假设第6个月（按30天计）的日参与人数 $Y$ （单位：万人）服从正态分布 $N (μ, {0.02}^{2})$ ，并视（1）所求第6个月的日平均参与人数的预测值为 $μ$ 的值，预测该月份日参与人数超过1.75万人的天数是否不少于25天.
附：①对于一组数据 $(u_{i}, v_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{β} u + \hat{α}$ 的斜率
$\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {(\bar{u})}^{2}}, \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .②若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (| X - μ | \leq σ) \approx 0.6827$

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19、为响应“缤纷寒假，探索实践”活动，某同学计划去2个展馆类景点和4个公园类景点打卡，已知其每日随机选择一个景点打卡（不重复打卡），设 $X$ 为打卡完某一类所有景点需要的天数，则 $X = 3$ 的概率为， $X$ 的期望 $E (X) =$ .

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20、写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ ：.
① $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ；②任意 $x \in R$ ，都有 $f^{'} (x) \geq 0$ ；③ $f^{'} (x)$ 是偶函数.

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月份编号 $x$	1	2	3	4	5
平均参与人数 $y$ （单位：万人）	0.5	0.7	1	1.3	1.5