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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln x^{2} + |x| - \frac{1}{|x|}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、不等式 $f (x) < f (2 - x)$ 的解集为 $(0, 1)$ D、若 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $2$

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2、已知复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ ，则（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $- i$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限 D、 $z$ 为方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = ln (2 - \frac{1}{a_{n} + 1}) (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $0 < a_{2026} < \frac{1}{5052}$ B、 $\frac{1}{5052} < a_{2026} < \frac{1}{2027}$ C、 $\frac{1}{2027} < a_{2026} < \frac{1}{2026}$ D、 $\frac{1}{2026} < a_{2026} < \frac{1}{2}$

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4、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $2 sin β = cos (α + β) sin α$ ，则 $\tan β$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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5、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 6 y$ 的焦点， $M$ 是 $C$ 上一点，直线 $F M$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ．若 $M$ 为 $F N$ 的中点，则 $|F N| =$ （）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则“ $a_{2} a_{6} > a_{3} a_{4}$ ”是“ $q > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、某学校派甲、乙、丙、丁4名同学参加“永超”足球比赛中3个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，甲、乙两位同学不能参加同一场次，则不同派法的种数为（）

A、12 B、24 C、30 D、36

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8、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (X \leq 0) =$ （）

A、0.7 B、0.6 C、0.5 D、0.3

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9、已知函数 $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})$ ，则 $f (x)$ 的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{π}{6}, 0)$ B、 $(\frac{π}{3}, 0)$ C、 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ D、 $(\frac{5 π}{6}, 0)$

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10、已知集合 $U = \{x \in N^{*} ∣ x < 9\}$ ， $A = \{3, 4, 5, 6\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 7, 8\}$ B、 $\{1, 2, 7, 8\}$ C、 $\{1, 2, 7, 8, 9\}$ D、 $\{0, 1, 2, 7, 8, 9\}$

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11、已知函数 $f (x) = e^{2 x - 1} - a x$ ．

(1)、函数 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若直线 $e^{3} x - y - 3 e^{3} = 0$ 为函数 $f (x)$ 的一条切线，求 $a$ 的值；

(3)、函数 $g (x) = f (x) + a x - ln a x$ ，若对任意 $x > 0$ ， $g (x) \geq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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12、已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，上顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $E$ 为 $O F$ 中点， $O$ 为坐标原点， $A E = \sqrt{5}$ ，椭圆上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在第一象限．

(1)、求椭圆方程；

(2)、若 $∠ P A F = ∠ E A F$ ，求 $y_{0}$ ；

(3)、若直线 $y = \frac{- x_{0}}{2 y_{0}} x$ 与椭圆交于点 $M 、 N$ ，点 $N$ 在点 $M$ 右侧， $Q$ 为线段 $O N$ 上一点， $P Q = 2 \sqrt{2}$ ，证明 $P Q$ 过定点，并求出定点坐标．

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13、数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 为各项不为零的等比数列，公比为2， $n \in N^{*}$ ， $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ．

(1)、证明： $a_{1} = b_{1}$ ；

(2)、求集合 $\{k | b_{k} = a_{m} + a_{1}, 1 \leq m \leq 500\}$ 中元素的个数；

(3)、当 $a_{1} = 1$ 时，将数列 $\{a_{n}\}$ 的每相邻两项 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 之间插入一个数 $a_{n} b_{n}$ ，构造新数列 $\{c_{n}\}$ ，即 $c_{1} = a_{1}$ ， $c_{2} = a_{1} b_{1}$ ， $c_{3} = a_{2}$ ， $c_{4} = a_{2} b_{2}$ ， …，数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{2 n}$ 及满足 $S_{2 n} > 2026$ 的最小正整数 $n$ ．

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14、“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱 $A B B_{1} A_{1} - D C C_{1} D_{1}$ ，如图2，底面 $A B B_{1} A_{1}$ 为直角梯形， $A B ∥ A_{1} B_{1}$ ， $A B ⊥ B B_{1}$ ， $A_{1} B_{1} = 1$ ， $A B = B C = B B_{1} = 4$ ， $F$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 在 $A B$ 上且 $B E = 3 E A$ ．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ ；

(2)、求 $E F$ 与平面 $E B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、求四面体 $F E B_{1} D_{1}$ 的体积．

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15、已知正三角形 $A B C$ ，边长为3，点 $D 、 E$ 在边 $A B$ 上（如图）， $A D = 1$ ， $∠ A C D = ∠ D C E = θ$ ．

(1)、求 $C D$ 的长， $\sin θ$ 的值；

(2)、求 $sin (2 θ + \frac{π}{3})$ 的值；

(3)、求 $D E$ 的长．

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16、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + a$ ，若对于任意 $x \in [a, 2 a]$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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17、已知正四棱锥 $P - A B C D$ ， $P B 、 P D$ 的中点分别为 $E 、 F$ ，点 $G$ 为 $P C$ 上一动点，平面 $E F G$ 将正四棱锥分为两个部分，当 $G$ 为 $P C$ 中点时，体积较小部分与体积较大部分的比值为；当 $P G = \frac{1}{3} P C$ 时，体积较小部分与体积较大部分的比值为．

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18、立德中学高三年级进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若从中随机抽取两个红包，其中一个超过50元，另一个不超过50元的概率为；若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为．

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19、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上且在x轴上方， $|P F| = 5$ ， O为坐标原点，以PO为直径的圆被直线PF所截得的弦长为．

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20、 ${(9 x - \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式中的常数项为．（用数字表示）

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