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相关试卷

1、已知单位向量 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 两两的夹角均为 $θ (0 < θ < π, θ \neq \frac{π}{2})$ ，若空间向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} (x, y, z \in R)$ ，则有序实数组 $(x, y, z)$ 称为向量 $\vec{a}$ 在“仿射”坐标系 $O - x y z$ （ $O$ 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作 $\vec{a} = (x, y, z) θ$ ，则下列命题是真命题的为（）

A、若 $\vec{a} = (2, d, 1) \frac{2 π}{3}, \vec{b} = (2, 3, 0) \frac{2 π}{3}, \vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $d = \frac{3}{4}$ B、若 $\vec{a} = (0, \sqrt{2}, 4) \frac{3 π}{4}$ ，则 $| \vec{a} | = \sqrt{26}$ C、若 $\vec{O A} = (- 1, 1, 3) θ, \vec{O B} = (1, 1, 3) θ, \vec{O C} = (1, 1, - 1) θ, \vec{O P} = (3, 1, 1) θ$ ，则不论 $θ$ 取何值， $P, A, B, C$ 四点都共面 D、若 $\vec{O A} = (1, 1, - 1) \frac{π}{3}, \vec{O B} = (1, - 1, 1) \frac{π}{3}, \vec{O C} = (- 1, 1, 1) \frac{π}{3}$ ，则点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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2、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，O为原点，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线 $C$ 的准线方程是 $x = - 1$ B、若 $| P F | = 4$ ，则 $y_{0} = 3$ C、过点 $M (1, 1)$ 的直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，则 $| A B | = \sqrt{15}$ D、点 $Q$ 是直线 $y = - x - 3$ 上一动点，则|PQ|的最小值是 $\sqrt{2}$

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3、一家水果店的店长为了解本店大泽脐橙的日销售情况，记录了过去10天大泽脐橙的日销售量（单位：kg），结果如下：
$\begin{array}{l} 93 & 106 & 117 & 101 & 80 & 85 & 104 & 90 & 90 & 116 \end{array}$
下列说法正确的是（）

A、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的中位数为93 B、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的平均数大于98 C、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的极差为37 D、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的第70百分位数为104

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4、如图，在棱长为 $1$ 的正四面体（四个面都是正三角形） $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $B C$ ， $A D$ 的中点，且 $\vec{M A}$ 在 $\vec{C N}$ 方向上的投影向量为 $μ \vec{C N}$ ，则 $μ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5、已知点 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为边作等边三角形 $A F_{1} F_{2}$ ，线段 $A F_{1}, A F_{2}$ 的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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6、某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将16盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶.若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{29}{120}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{31}{120}$

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7、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $D D_{1}$ 的中点，则点 $C_{1}$ 到直线AE的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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8、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、无法判断

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9、已知 $\vec{a} = (2, 1, 2), \vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $\sqrt{65}$ C、11 D、 $\sqrt{113}$

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10、直线 $l : \sqrt{6} x + \sqrt{2} y + 5 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11、为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为（）

A、18 B、16 C、15 D、9

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12、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 4 x$ ，焦点为 $F$ ，过 $P (4, 4)$ 作两条关于直线 $x = 4$ 对称的直线分别交 $Γ$ 于 $A, B$ 两点．

(1)、判断直线 $A B$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

(2)、若 $C (x_{1}, y_{1}), D (x_{2}, y_{2}), E (x_{3}, y_{3})$ 三点在抛物线 $Γ$ 上，且满足 $\vec{F C} + \vec{F D} + \vec{F E} = 0$ ，证明 $△ C D E$ 三个顶点的横坐标均小于2．

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13、在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, B C = 2 A B = 2 A D = 4, A B ⊥ B C$ ，点 $E$ 为 $A D$ 中点，沿 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，使 $B E ⊥ C D$ ，

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求二面角 $E - B C - D$ 的余弦值，

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14、设 $\vec{O A} = (1, 0), \vec{O B} = (0, 2)$ ，对满足条件 $|\vec{O C} - \vec{O A} - \vec{O B}| = 2 |\vec{O A} - \vec{O B}|$ 的点 $C (x, y), |x - 2 y + m| + |x - 2 y - 7|$ 的值与 $x, y$ 无关，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 7)$ B、 $[13, + \infty)$ C、 $(13, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 7) \cup [13, + \infty)$

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15、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F, G, H$ 分别为 $B B_{1}, C C_{1}, A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、 $E, F, G, H$ 四点共面 B、 $E F / / G H$ C、 $E G, F H, A A_{1}$ 三线共点 D、 $∠ E G B_{1} = ∠ F H C_{1}$

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16、在四面体 $A B C D$ 中（如图），平面 $A B D ⊥$ 平面 $A C D$ ， $△ A B D$ 是等边三角形， $A D = C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， M为AB的中点，N在侧面 $B C D$ 上（包含边界），若 $\vec{M N} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A D}$ ，（ $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ），则（）

A、若 $x = \frac{1}{2}$ ，则 $M N //$ 平面ACD B、当 $|M N|$ 最小时， $x = \frac{1}{4}$ C、若 $y = 0$ ，则 $M N ⊥ C D$ D、当 $|M N|$ 最大时， $x = - \frac{1}{2}$

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17、在① $\sqrt{3} a - b \sin C = \sqrt{3} c \cos B$ ， ② $\cos^{2} \frac{B}{2} = \frac{2 a - b + 2 c}{4 c}$ ， ③ $\sin^{2} A - \cos^{2} B + \cos^{2} C = \sin A \sin B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.
在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 1$ ， $△ A B C$ 的面积 $S \in (0, \frac{\sqrt{3}}{12})$ ，求 $△ A B C$ 的周长l的取值范围；

(3)、若 $\sqrt{2} c = \sqrt{3} b$ ， $\vec{C A} = \sqrt{3} \vec{C D}$ ，求 $\tan ∠ A B D$ .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18、单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{2}{3}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值：

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $k$ 的取值范围.

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19、在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 中， $\vec{D E} = 2 \vec{E C} ， M$ 是 $B C$ 中点，则 $\vec{M E} \cdot \vec{B D} =$ ；若点 $P$ 在线段 $B D$ 上运动，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P M}$ 的最小值是.

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20、已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $\vec{b} = (3, 0)$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是.

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