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相关试卷

1、在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(2, 1)$ ，则 $i \cdot z =$ ．

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2、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 $∠ C = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ .则下列结论正确的是（）

A、 $b \cos A + a \cos B = 2$ B、 $\frac{b + 2 c}{\sin B + 2 \sin C} = \frac{2 b + c}{2 \sin B + \sin C} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围为 $(0, 4 \sqrt{3})$ D、若 $(\frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|} + \frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}|}) \cdot \vec{A B} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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3、下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = - 3 \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平行向量 B、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $⟨\vec{A B}, \vec{B C}⟩ = \frac{2π}{3}$ C、模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 D、已知平面内的一组基底 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ，则向量 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 也能作为一组基底

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4、若 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A、若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则此三角形为等腰三角形 C、若 $a > b$ ，则 $\sin A$ 与 $\sin B$ 大小无法确定 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $\sin A + \sin B > \cos A + \cos B$

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5、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是 $A B$ 上一点，且 $\vec{C P} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ ， $Q$ 是 $B C$ 中点， $A Q$ 与 $C P$ 交点为 $M$ ，又 $\vec{C M} = t \vec{C P}$ ，则 $t =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6、在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $A C = 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $B C =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\sqrt{13}$ C、13 D、 $\frac{\sqrt{87}}{4}$

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7、如图，向量 $\overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{a}$ 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若 $\overset{⇀}{a} = λ \overset{⇀}{e_{1}} + μ \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则 $λ + μ =$

A、 $- 1$ B、3 C、1 D、 $- 3$

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8、复数 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ 的三角形式是（）

A、 $cos 60^{\circ} + isin 60^{\circ}$ B、 $- cos 60^{\circ} + isin 60^{\circ}$ C、 $cos 120^{\circ} + isin 60^{\circ}$ D、 $cos 120^{\circ} + isin 120^{\circ}$

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ A B$ ， $C D // A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D$ ， $A D = C D = 2$ ， $A B = 4$ .

(1)、证朋：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ .

(2)、若平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，求 $P A$ 的长度.

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10、如图，已知矩形 $B B_{1} C_{1} C$ 所在平面与直角梯形 $A B B_{1} N$ 所在平面垂直，在直角梯形 $A B B_{1} N$ 中， $A N // B B_{1}$ ， $A B ⊥ A N$ ， $A B = B C = A N = \frac{1}{2} B B_{1}$ .

(1)、判断 $B C_{1}$ 与 $B_{1} N$ 是否垂直，并说明理由；

(2)、求直线CN与平面 $B C_{1} N$ 所成角的余弦值.

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11、已知圆 $C$ 过点 $A (- 3, - 2)$ 和点 $B (1, - 6)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x + y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过点 $(5, - 3)$ 作直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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12、某学校举办了一场趣味知识竞赛，将100名参赛学生的成绩（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求图中m的值，并估计这100名参赛学生的成绩的中位数；

(2)、若从竞赛成绩在[80，90），[90，100]内的两组学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中任意抽取2人代表学校参加竞赛，求抽取的2人中至少有1人的成绩在[90，100]内的概率.

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13、在正四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c} . \vec{O M} = 2 \vec{M A}, \vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示）．若 $| \vec{a} | = \sqrt{5}$ ，则 $| \vec{M N} | =$ ．

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14、已知事件 $A$ 与 $B$ 互斥，且 $P (A) = 0.1$ ， $P (B) = 0.4$ ，则 $P (A \cup B) =$ .

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15、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，动点 $P$ 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内（含表面），且满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} + μ \vec{A E}$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $Ω$ ，则（）

A、 $Ω$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{33}}{8}$ B、 $Ω$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{35}}{8}$ C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，存在点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B D_{1}$ D、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为定值

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16、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y + 9 = 0$ ，点 $Q$ 是直线 $l : 3 x + 4 y - 3 = 0$ 上的点，则（）

A、圆 $C$ 上有两个点到直线 $l$ 的距离为2 B、圆 $C$ 上只有一个点到直线 $l$ 的距离为2 C、从 $Q$ 点向圆 $C$ 引切线，切线长的最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、从 $Q$ 点向圆 $C$ 引切线，切线长的最小值是 $2 \sqrt{5}$

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17、已知复数 $z = (9 + 8 i) (5 - i)$ ，则（）

A、 $z$ 的虚部为31i B、 $\bar{z} = 53 - 31 i$ C、 $z - 53$ 为纯虚数 D、 $z > 31 i$

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18、已知复数z满足 $|z - 3 + 4 i| = 2$ ， $\bar{z}$ 为z的共轭复数，则 $z \cdot \bar{z}$ 的最大值为（）

A、7 B、9 C、25 D、49

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19、掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件 $A =$ “第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件 $B =$ “第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $P (A) = P (B)$ D、 $A = B$

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20、抛物线 $y = \frac{1}{16} x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, 4)$ B、 $(0, 8)$ C、 $(0, \frac{1}{64})$ D、 $(4, 0)$

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