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1、给出的下列选项中，正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = 2^{x}$ B、 ${(\sin \frac{π}{3})}^{'} = \cos \frac{π}{3}$ C、 ${(- \frac{1}{x^{2}})}^{'} = \frac{2}{x^{3}}$ D、 ${(\sin 2 x)}^{'} = \cos 2 x$

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2、函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ 在区间 $[1, 3]$ 上的平均变化率等于 $x = m$ 时的瞬时变化率，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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3、如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过O作射线交 $M P$ 的延长线于点Q，使得 $S_{△ O Q M} = 2 S_{△ O P M}$ ，记 $∠ M O P = α$ ， $∠ Q O M = β$ ，且 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，求 $\frac{\sin (- β) + \cos (π - β)}{cos (\frac{π}{2} - β) + sin (\frac{3 π}{2} + β)}$ 的值；

(2)、已知函数 $f (α) = 1 - 2 m - 2 m \sin α - 2 \cos^{2} α$ ， $α \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，记 $f (α)$ 的最小值为 $g (m)$ ．若 $g (m) = \frac{1}{2}$ ，求m的值及此时 $f (α)$ 的最大值．

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4、设 $n$ 为正整数，由互不相同的正实数构成数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ .

(1)、请给出一个数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，使得 $a_{1} a_{2}$ ， $a_{2} a_{3}$ ， $a_{3} a_{1}$ 成等比数列；

(2)、若 $a_{1} a_{2}$ ， $a_{2} a_{3}$ ， …， $a_{n - 1} a_{n}$ ， $a_{n} a_{1}$ 为等比数列，求所有的 $n$ ；

(3)、将所有的 $a_{i} a_{j}$ （ $1 \leq i < j \leq n$ ）按照一定顺序排成一列数，若这一列数是递增的等比数列，求所有的 $n$ .

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5、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的左，右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交双曲线左支于 $A$ ， $A^{'}$ 两点，过 $F_{2}$ 的直线 $l^{'}$ 交双曲线右支于 $B$ ， $B^{'}$ 两点（点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上方），且 $l^{'} // l$ ，直线 $F_{1} B$ ， $F_{2} A$ 交于 $P$ 点.

(1)、当 $l ⊥ x$ 轴时，求 $P$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{B P} = 3 \vec{P F_{1}}$ ，求直线 $l$ 的斜率；

(3)、设 $O$ 为坐标原点，求 $|O P|$ 的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = e^{x + a}$ ， $g (x) = \ln x$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求证： $g (x) < x < f (x)$ ；

(2)、若方程 $f (x) = g (x) - a$ 有2个不同的解，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n + 1} - 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} - 1) \cdot (a_{n + 1} - 1)}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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8、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ .

(1)、求 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求证：直线 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ .

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9、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .设 $n$ 为常数，当 $a$ 变化时， $n x_{1} + x_{2} + (n + 1)$ 有最小值 $e$ ，则常数 $n$ 的值为.

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}$ 与公差 $d$ 均为正整数，且各项的和为49，则 $a_{1} =$ .

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11、设函数 $f (x) = x \ln x$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{2} + x) + f (\frac{1}{2} - x) < 0$ B、当 $0 < x < \frac{1}{3}$ 时， $f (\frac{x}{2} + \frac{1}{6}) < f (x)$ C、当 $0 < x < \frac{1}{3}$ 时， $f (x) < f (\frac{2}{3} - x)$ D、当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, 1)$ 时， ${|f (x_{1}) - f (x_{2})|}^{2} \leq |x_{1} - x_{2}|$

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12、如图， $△ A B D$ ， $△ B C E$ ， $△ A C F$ 所在的平面均与 $△ A B C$ 所在的平面垂直，且四个三角形边长均为2的等边三角形，下列选项正确的是（）

A、 $△ D E F$ 是边长为1的正三角形 B、平面 $A D F ⊥$ 平面 $A B C$ C、多面体 $A B C - D E F$ 的体积为 $\frac{9}{4}$ D、多面体 $A B C - D E F$ 的外接球的表面积为 $\frac{20}{3} π$

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13、已知直线 $l$ ： $x + m y - 4 = 0$ 和圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过点 $(4, 0)$ B、圆 $C$ 被 $x$ 轴截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ C、当 $m = 0$ 时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 D、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相交时，截得的最大弦长为 $2 \sqrt{3}$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 0$ ， $|a_{n}| = |a_{n - 1} + 1|$ （ $n \geq 2$ ），则 $|S_{2024}|$ 可以是（）

A、42 B、46 C、50 D、54

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15、过点 $(a, b)$ 可作函数 $f (x) = \sin x$ ， $x \in (0, 2 π)$ 的三条切线，则下列结论可能成立的是（）

A、 $b > a$ B、 $b = f (a)$ C、 $f (a) < b < π - a$ D、 $a + b = π$

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16、已知点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点，抛物线的准线与 $x$ 轴交于点 $K$ ， $A$ 是抛物线上的一点，满足 $|A K| = \sqrt{2} |A F|$ .则 $△ A F K$ 的面积为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、16

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17、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系为（）

A、内含 B、相交 C、外切 D、外离

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18、函数 $f (x) = \frac{1}{x \ln x}$ 的一个单调递减区间是（）

A、（e，+∞） B、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$ C、（0， $\frac{1}{e}$ ） D、（ $\frac{1}{e}$ ， 1）

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19、定义：若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在公共定义域内存在 $x$ 使得 $f (x) + g (x) = 0$ ，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 为“契合函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 e^{2}$ 和 $g (x) = e^{x + 1}$ 是否为“契合函数”；

(2)、若函数 $f (x) = ln x - 1$ 和 $g (x) = - x^{2} - a x + 1$ 不为“契合西数”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x) = \frac{1}{m} e^{x} + 1$ 和 $g (x) = \frac{sin x}{x} - 1 (m < 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上为“契合函数”，求 $m$ 的取值范围．

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20、已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴， $y$ 轴，且过 $(0, - 1), (\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 两点．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $(- 4, 0)$ ，斜率不为0的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，点 $C (- 1, 1)$ ，直线 $A C$ 与 $x$ 轴交于 $P$ ，与 $y$ 轴交于 $M$ ，直线 $B C$ 与 $x$ 轴交于 $Q$ ，与 $y$ 轴交于 $N$ ．若 $3 S_{△ C M N} = S_{△ C P Q}$ ，求直线 $l$ 的斜率．

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